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时间:2019-01-01
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1、勾股定理中的数学思想 数学思想方法是以具体数学内容为载体,又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛,学会数学地思考和解决问题,并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导作用。灵活运用数学思想方法解决问题,往往可以化难为易、化腐朽为神奇,取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明。 一、分类思想 例1(2013年贵州省黔西南州中考题)一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为() A.5B.■C.■D.5或■ 分析边长为4的边可能是直角边,也可能是斜边,因此需要分类讨论
2、。 解当边长为4的边是直角边时,由勾股定理,得第三边的长为■=5; 当边长为4的边是斜边时,由勾股定理,得第三边的长为■=■。 所以第三边的长为5或■,故答案选D。 点评本题容易受“勾三股四弦五”的影响,直接把边长为4的边当作直角边,从而误选A,这样就犯了考虑问题不全面的错误了。 二、方程思想 例2(2013年山东省济南市中考题)如图1,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆84m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)() A.12mB.13mC.16
3、mD.17m 分析观察图形,当绳子末端拉到距离旗杆8m处时,可过绳子末端向旗杆作垂线,这样可以得到一个直角三角形,然后设旗杆的高度为x,进而运用勾股定理列方程求解。 解如图2,设旗杆的高度为xm,则AC=AD=x,AB=x-2,BC=8。 在Rt△ABC中,由勾股定理,得(x-2)2+82=x2。 解得x=17,即旗杆的高度为17m,故答案选D。 三、整体思想 例3(2013年江苏省扬州市中考题)矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,则矩形的面积为________。 分析设矩形的两邻边长分别为a、b(a>b),则a-b=2。又由
4、勾股定理,得a2+b2=16。而矩形的面积等于ab,关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子。 解设矩形的两邻边长分别为a,b(a>b),则a-b=2。 由勾股定理,得a2+b2=16。 由(a-b)2=a2+b2-2ab,得22=16-2ab,所以ab=6,即矩形的面积为6。 点评本题在求矩形的面积时,分别将a-b,a2+b2,ab看成一个整体,体现了数学中的整体思想。 四、归纳思想4 例4(2013年湖南省张家界市中考题)如图3,OP=1,过P作PP1⊥OP,得OP1=■;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=■
5、;又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2;…依此法继续作下去,得OP2012=________。 分析首先根据勾股定理求出OP4,再由OP1,OP2,OP3的长度找到规律,进而求出OP2012的长。 解由勾股定理,得OP4=■。 由OP1=■,OP2=■,OP3=2=■,……不难推出OPn=■。 所以OP2012=■。 五、数形结合思想 例5(2013年湖南省张家界市中考题)如图4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0)、(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长
6、为5的等腰三角形时,点P的坐标为____________。 分析易知OD=5,要使△ODP为腰长为5的等腰三角形,可以点O为圆心,OD为半径作圆;也可以点D为圆心,OD为半径作圆。 解由C(10,0),可知OD=5。 (1)以点O为圆心,OD为半径作圆交边BC于点P1,如图5。 由勾股定理,得P1C=■=■=3。所以P1(3,4)。 (2)以点D为圆心,OD为半径作圆交边BC于点P2、P3,如图6所示。 分别过点P2、P3作x轴的垂线,垂足分别为E、F。4 由勾股定理易得DE=DF=3。 所以OE=OD-DE=5-3=2,OF
7、=OD+DF=5+3=8。 所以P2(2,4),P3(8,4)。 综合(1)和(2),点P的坐标为(3,4)或(2,4)或(8,4)。 点评本例在渗透数形结合思想的同时,又考查了分类讨论思想。4
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