《随机序列》word版

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1、第一章随机序列前言：这一章是本书的预备知识.我们借助于实例，用较通俗的语言引入平稳随机序列的概念.然后介绍平稳随机序列的描述方法，并且对平稳序列中的“频谱分析方法”、“相关分析方法”及“参数化方法”之间的关系给予简要说明.另外，还将介绍两种常用的估计方法，以备后用.讨论描述随机过程的方法必须注意①随机过程表面上杂乱无章（如BrownianMotion）但是，它既然是客观事物和数量表征，必然有其内在的规律；②为了掌握和利用这些随机过程所表现出来的规律，需要一定的数学工具，这就是随机过程理论.这章主要讨论随机序列的概率分布、参数表征、平稳随机序列（定义、谱分解、

2、白噪声序列、线性运算、有理谱密度的平稳序列、随机差分方程、遍历性）、多维随机序列、两种估计和参数估计的优效性概念。1．随机序列的概率分布：随机序列由无穷多个随机变量构成的，我们说给定了一个随机序列的概率分布，是指对于任意有穷多个时刻，相应的随机变量的联合分布函数都是被给定的，而且它们之间不能矛盾，即是说由高维联合分布推出的低维联合分布与原给定的低维分布相同.有时我们也说给定了序列的任意有穷维分布.为独立的随机序列：若对于有穷个不相同时刻相应是相互独立的randomvariable即Exp：电话中的热噪声常常近似于这种独立序列.由于分布函数完整地描述了随机变量

3、的统计特性，故严平稳随机过程的所有统计特性均不随时间的平移而变化.故这一要求相当严格.称之为严平稳（狭义平稳）.而宽平稳过程对时间推移的不变性表现在统计平均的一、二阶矩上.显然，严平稳过程比宽平稳过程之条件要求更“严”.为狭义平稳序列（严平稳序列）：若一个随机序列的任意有穷维分布满足：（整数集），19即和有相同的分布，无论对怎样的和时刻以及都如此.2．随机序列的参数表征：①均值函数：对每个而言，若把随机变量的均值记为.则随机序列的均值函数就是；若的分布为，若具有密度，则.Remark：可取常数（§1例4且电负荷量）；可取周期函数（§1例2某点平均水温）；或取

4、其它形式，为方便计，称为的均值.②自协方差函数：易知随机序列的均值只和随机序列的一维分布有关，为了分析随机序列在不同时刻取值的统计关系，须要考虑与的协方差值，令作为的二元函数，称为随机序列的自协方差函数，特别称为的方差函数，简称方差.若一个随机序列的任意有穷维分布都是正态分布，则称为正态随机序列.若以表示相应于的分布密度，此时其中；很多实际应用的随机序列可近似当做正态序列，正态序列在数学处理上有很多方便之处.③自相关函数：序列的自相关函数定义为它刻划了序列在不同时刻取值的线性相关程度.19Remark：随机序列的参数表征还有很多，与本书关系密切的就是以上三种

5、量.从上述表述易见，和被的分布唯一确定.但是，反之由和一般并不能唯一确定的分布，即具有不同分布的随机序列可以有相同的均值、自协方差和自相关函数.3．平稳随机序列：为便于读者掌握，我们把本书的讨论几乎完全限于正态序列范围之内，这不会影响时序分析方法的介绍，且会使很多数学概念和性质有较为简单的形式，只是在某些个别情形下，我们指出对于非正态序列的类似结果.特别，本书所介绍的各种方法的基础是广义平稳序列（宽平稳序列）.（1）广义平稳序列的定义：若随机序列的二阶矩有穷且对任意时刻和满足：为方便计，通常不妨设.则称它为广义平稳序列（宽平稳序列），即与无关，只与有关.“广

6、义”是相对于“狭义”而言的，简称平稳过程.Remark：①若狭义平稳过程（序列）的一、二阶都有穷则它一定也是广义平稳的.②若是正态随机序列，的狭义平稳性的广义平稳性.（，复旦大学《随机过程》第三册P183特征函数）Proof：“”若是狭义平稳的（严平稳的），又正态过程有二阶矩，由①知为宽平稳的.“”若正态过程是宽平稳的，则19表明和具有相同的协方差矩阵和均值向量，而正态（多维）分布仅由它们确定（特征函数知识）因而是严平稳（狭义平稳）过程.③Theorem.设为平稳列，则要表为其中是标准化的具有正交增量的，左连续的随机过程，且这样的正交增量过程唯一地由所确定

7、.（证明略）④实际应用中，平稳序列仅仅是对于真实随机序列的一种近似描述手段.例：电路中的热噪声，陀螺仪的漂移速率及其它精密仪表的漂移误差，金融中的收益率序列等，第三章将给出一种粗略判别平稳序列手法.（2）自协方差函数与谱分布（为实列）对于正态平稳序列，其均值和自协方差函数唯一决定了它的分布（（1.2.6）式知），从而也就决定了它的全部统计性质，故讨论自协方差函数的性质十分重要，也是首要任务.满足：①对称性：②非负定性：对，方阵是非负定的.（对维实值非零向量都有：19）有时称满足上述性质1和性质2的实数列称为非负定列.易知，反之，任意一个非负定列必为某平稳序列

8、的自协方差函数（[3]，E.lukacs,Chara