例谈数形结合思想在平面向量中的应用

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1、例谈数形结合思想在平面向量中的应用河北省遵化市东旧寨中学王广平邮编064203向量的几何表示，三角形，平行四边行法则使向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征.所以，向量融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”。我们在研究向量问题或用向量解决数学问题时，如果恰到好处地运用数形结合的思想，可以将许多复杂问题简单化,抽象问题直观化。本文结合实例，将数形结合思想在解决向量问题的妙处做一总结，以供参考。一、利用平行四边形、三角形法则。MOCBA例1、（2005年江苏试题）在△AB

2、C中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值是.分析：本题关键是用平行四边形法则转化为。如图，设，则(0≤x≤2).由M为BC的中点，知，而==2x(2–x)cos180°=2x2–4x=2(x–1)2–2(0≤x≤2).所以当x=1时，取最小值–2.注：计算的最值亦可用均值不等式。二、利用模的几何意义。例2、：已知向量，且，问x为何值时，的值最小分析:画出图形（如下图），易知就是点A到直线OB上的点的的距离。所以，，即图中所示的AH。在中易得。此时BHA120BOB注：本题亦可有代数方法解决，但运算量较大

3、。用数形结合的方法，就显得简洁。例3（2005年浙江试题）已知，对任意t∈R，恒有

4、，则（）A．B．C．D．分析：如下图，恒成立即是点A到向量所在直线的距离。很显然A.注：本题是向量与不等式综合题。一般资料上都是用代数方法求解。比较繁琐，若能联想到向量的几何意义，则可收到更好的解答效果.三、利用向量的方向（夹角）。例4、分析：在平面直角坐标系中做出向量，可直观地观察出结果。_o_y_x注：本题亦可用夹角公式，但还需借助三角函数诱导公式，方可求解。四、利用几何图形。例5、已知点是△的重心，若过△的重心，且求证：AMBQ

5、OPG分析：本题做出相应图形，再运用向量的几何形式运算.及向量平行的定理及推论即可解决。显然因为是的重心，所以=由、、三点共线,有共线,所以,有且只有一个实数,而=-=,所以=.又因为、不共线,所以,消去,整理得3=,故.