ch3薄膜波导和带状波导的模式理论

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1、第三章薄膜波导和带状波导的模式理论在第二章的前两节中，我们用几何光学理论分析了薄膜波导中光的传播特性。由于几何光学理论本身的局限性，如果波导的横向尺寸与光的波长相当时，利用几何光学理论就无法得到正确的结果。本章采用经典电磁理论分析薄膜波导和带状波导中光波的传播问题，也就是所谓的光波导的模式理论。3.1均匀薄膜波导均匀薄膜波导的结构如图3-1所示。它由三层均匀介质构成，三层介质的折射率分别为,,，而且大于和和。这种结构的光波导中光传播的几何光学理论这里不再详述。本节将从麦克斯韦方程出发分析光波的传播特性。由于均匀薄膜波导在y轴方向是无限延伸的，所以电磁场量不是y

2、的函数，因而波导中的电磁场方程具有较图3-1均匀薄膜波导的结构简洁的形式。对于角频率为ω的正弦电磁场，麦克斯韦方程组中的第一、第二个方程分别为（3.1-1）在直角坐标系中将上面的两个矢量方程写成标量形式，得到由于波导结构在方向是无限的，因而场量与无关，假设波沿轴方向传播，则所有的场分量都可以写成因而必有，。于是上面的六个方程可以分成两组（3.1-2a）（3.1-2b）（3.1-2c）63（3.1-3a）（3.1-3b）（3.1-3c）在（3.1-2）式的三个方程只含有，，三个电磁场分量，电场强度与波的传播方向垂直，但是磁场强度与波的传播方向不垂直，因而它就是沿

3、方向传播的TE波（或TE模）场方程。在（3.1-3）式的三个方程中只含有、、三个电磁场分量，磁场强度与波的传播方向垂直，但是电场强度与波的传播方向不垂直，因而它就是沿方向的TM模场方程。下面讨论薄膜波导中这两种波型的特点。3.1.1TE模将（3.1-2b）式两边对求导，并将（3.1-2）式的其余两个方程代入，可以得到（3.1-4）式中。构成波导三层介质折射率分别为,,，而且大于和，为了保证电磁波能量主要集中在波导芯层（折射率为）中传播，方程（3.1-4）在芯层、衬底（折射率为）、敷层（折射率为）中的解可以分别写成（3.1-5a）（3.1-5b）（3.1-5c）

4、式中,,,是场量的特征常数，,,是三个积分常数。是芯层中场量在方向的相位常数，、分别是衬底和敷层中场量沿方向的衰减常数。将（3.1-4）式的解写成上式就意味着在芯层中场量在x方向呈驻波分布，解式中的和共同决定驻波场场量的波腹和波节位置，则决定了两个波节间的距离。在衬底和敷层中场量随离开界面的距离按指数规律迅速衰减，而和则决定了场量衰减的快慢。这样的场结构可保证场能量集中在波导芯层及芯层与衬底及敷层的界面附近的薄层中，并沿着轴方向传播。这就是波导中的传播模式或导波模式。对比（3.1-4）式和（3.1-5）式，很容易得到场量的特征参量、、、与各层介质的折射率、、之

5、间的关系，即（3.1-6a）（3.1-6b）（3.1-6c）将（3.1-5）式中的代入（31-2a）及（3.1-2b）式，即可得到三个区域的磁场分量、、及、、，即63（3.1-7a）（3.1-7b）（3.1-5）式中的三个积分常数，也就是场量的振幅值,,由面上的电磁场边界条件及激励条件决定。在两种不同介质的分界面上，电磁场边界条件是电场强度和磁场强度的切向分量连续。对图3-1所示的薄膜波导，则具体化为在面：在面：将（3.1-5）式中的、、和（3.1-7）式中的、、代入上述边界条件，得到（3.1-8a）（3.1-8b）（3.1-8c）（3.1-8d）这些方程规定

6、了、、之间的关系，它们的完全确定还有赖于波导的激励条件，即输入功率。从（3.1-8）式中消去、、，可以得到（3.1-9a）（3.1-9b）（3.1-9）式又可以写成式中p=0,1,2,…；q=0,1,2,…。将上两式分别相加和相减，即可得到（3.1-10a）（3.1-10b）63式中是波导芯层的厚度，m=p+q=0,1,2,…，n=p–q=…,-2,-1,0,1,2,…，但实际上n只取0和1两个数即可。从（3.1-5a）式可以看到当n取0,1之外的其它任何正负整数时，都不会给出新的结果。而且在m=p+q取偶数时，n取零，芯层内的场量在方向按余玄函数分布；当m=

7、p+q为奇数时，n取1，芯层内场量在方向按正弦函数分布。也就是说，可以将芯层内的场量写成（3.1-11a）和（3.1-11b）式中这时（3.1-11a）式所给出的场解对应（3.1-10a）式中的m取偶数，而（3.1-11b）式给出的场解对应（3.1-10a）中的m取奇数。（3.1-10a）式成为均匀薄模波导的特征方程，将它和（3.1-6）式中的三个方程联立求解，即可求得场量的四个特征参量,,,。有时也把这四个方程统称为特征方程。求出,和以后即可由（3.1-10b）式求得，从而得到TE模的场量。在方程（3.1-10a）式中，m从零开始每取定一个值，都可解的一组,

8、,,,值。将其代进（3.1-5）式和（