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1、附录Ⅰ大学数学实验指导书项目三多元函数微积分实验1多元函数微积分（基础实验）实验目的掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法,掌握计算二元函数极值和条件极值的方法.通过作图和观察,理解二元函数的性质.掌握利用Mathematica计算二重积分方法;提高应用重积分解决实际问题的能力.基本命令1.求偏导数的命令D命令D既可以用于求一元函数的导数,也可以用于求多元函数的偏导数.例如:求对x的偏导数,则输入D[f[x,y,z],x]求对y的偏导数,则输入D[f[x,y,z],y]求对x的二阶偏导数,则输入D[f[x,y,z],{x,2}]求对的混合偏导数
2、,则输入D[f[x,y,z],x,y]…………2.求全微分的命令Dt该命令只用于求二元函数的全微分时,其基本格式为Dt[f[x,y]]其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y],它们分别表示自变量的微分dx,dy.若函数的表达式中还含有其它用字符表示的常数,例如a,则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a],若采用选项Constants->{a},就可以得到正确结果,即只要输入Dt[f[x,y],Constants->{a}]3.计算重积分的命令lntegrate和NIntegrate例如,计算,输入Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}]
3、则输出又如,计算的近似值,输入NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}]则输出0.160839注:Integrate命令先对后边的变量积分.利用Mathematica计算重积分,关键是确定各个积分变量的积分限.实验举例求多元函数的偏导数与全微分97例1.1(教材例1.1)设求输入Clear[z];z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2;D[z,x]D[z,y]D[z,{x,2}]D[z,x,y]则输出所求结果:例1.2设求和全微分dz.输入Clear[z];z=(1+x*y)^y;D[z,x]D[z,y]则有输出再输入Dt[z]则
4、得到输出例1.3(教材例1.2)设其中a是常数,求dz.输入Clear[z,a];z=(a+x*y)^y;wf=Dt[z,Constants->{a}]//Simplify则输出结果:(a+xy)-1+y(y2Dt[x,Constants->{a}]+Dt[y,Constants->{a}](xy+(a+xy)Log[a+xy]))其中Dt[x,Constants->{a}]就是dx,Dt[y,Constants->{a}]就是dy.可以用代换命令“/.”把它们换掉.输入wf/.{Dt[x,Constants->{a}]->dx,Dt[y,Constants->{a}
5、]->dy}输出为(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Log[a+xy]))97例1.4(教材例1.3)设,求输入eq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants->{u,v}](*第一个方程两边对x求导数,把u,v看成x,y的函数*)eq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants->{u,v}](*第二个方程两边对x求导数,把u,v看成x,y的函数*)Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants->{u,v}],D[v,x,NonConstants->{u,v}]}]//
6、Simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出其中D[u,x,NonConstants->{u,v}]表示u对x的偏导数,而D[v,x,NonCosnstants->{u,v}]表示v对x的偏导数.类似地可求得u,v对y的偏导数.多元函数的极值例1.5(教材例1.4)求的极值.输入Clear[f];f[x_,y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x;fx=D[f[x,y],x]fy=D[f[x,y],y]critpts=Solve[{fx==0,fy==0}]则分别输出所求偏导数和驻点:{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2}
7、,{x->1,y->0},{x->1,y->2}}再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令fxx=D[f[x,y],{x,2}];fyy=D[f[x,y],{y,2}];fxy=D[f[x,y],x,y];disc=fxx*fyy-fxy^2输出为判别式函数的形式:(6+6x)(6-6y)再输入data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts;TableForm[data,TableHeadings->{None,{"x","y","fxx","disc","f"}}]最后我们得到了四个驻点处的判别式与的值并以表格形式列出.Xyfx
