2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件理

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1、第二节　导数与函数的单调性总纲目录教材研读函数的导数与单调性的关系考点突破考点二　利用导数求函数的单调区间考点一　利用导数判断或证明函数的单调性考点三　已知函数的单调性求参数的范围函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f'(x)>0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内①单调递增;(2)若f'(x)<0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内②单调递减;(3)若f'(x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是③常数函数.教材研读1.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是()A.先增后减　    

2、B.先减后增C.单调递增　    D.单调递减答案D　∵在(0,π)上,f'(x)=-sinx-1<0,∴f(x)在(0,π)上单调递减,故选D.D2.若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是()A.[-1,1]　    B.C.D.C答案Cf'(x)=1-cos2x+acosx=1-(2cos2x-1)+acosx=-cos2x+acosx+,f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0在R上恒成立,令cosx=t,则t∈[-1,1],则-t2+at+≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0

3、在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,则解得-≤a≤,故选C.3.(2016北京东城期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象如图所示,则x·f'(x)>0的解集为()A.(-∞,0)∪(1,2)B.(1,2)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(2,+∞)A答案A　不等式x·f'(x)>0等价于当x>0时,f'(x)>0,即x>0时,函数f(x)递增,则1

4、0,1].答案(0,1]解析由题意知函数的定义域为(0,+∞),由y'=x-≤0(x>0),解得0

5、(ex+2a).(1)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2)设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-,则f‘(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),

6、1)单调递减.③若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.方法技巧用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤①求f'(x).②确定f'(x)在(a,b)内的符号.③作出结论,依据是f'(x)>0时为增函数;f'(x)<0时为减函数.提醒研究含参数的函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.1-1已知函数f(x)=a

7、x3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.解析(1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f'=0,即3a·+2×=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=ex,故g'(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex.令g'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当-40,故g(x)为增函数;当-1

8、x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.典例2