初中几何地重要公式证明

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1、实用标准文案重要公式及证明任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：　　设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有　　a＝b·cosC＋c·cosB，　　b＝c·cosA＋a·cosC，　　c＝a·cosB＋b·cosA。　　注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC

2、＋c·cosB.同理可证其余。　　证明2：由正弦定理，可得：b=a·sinB/sinA，c=a·sinC/sinA=a·sin(A+B)/sinA=a·(sinAcosB+cosAsinB)/sinA　　=a·cosB+(a·sinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.同理可证其它的。1、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分已知，在△ABC中，BD为AC中线，CE为AB中线，BD、CE交于点O，求证BC的中线AF过点O。延长AO交BC于F'作BG平行EC交AO延长线于G则因E为AB中点,所以O为A

3、G中点连接GC,则在三角形AGC中,OD是中位线BD平行GC所以BOCG为平行四边形F'平分BCF'与F重合BC的中线AF过点O。2、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点3、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL4、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。三角AM，设AM交OH于点G’。∵BD是直径，∴∠BAD、∠BCD是直角。∴AD⊥AB，DC⊥BC。∵CH⊥ABM是BC的中点，O是BD的中点。∴OM=DC。∴OM=AH

4、。精彩文档实用标准文案∵OM‖AH，∴△OMG’∽△HAG’。∴。∴G’是△ABC的重心。∴G与G’重合。∴O、G、H三点在同一条直线上。三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。1、欧拉线的证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’。∵BD是直径，∴∠BAD、∠BCD是直角。∴AD⊥AB，DC⊥BC

5、。∵CH⊥AB，AH⊥BC，∴DA‖CH，DC‖AH。∴四边形ADCH是平行四边形，∴AH=DC。∵M是BC的中点，O是BD的中点。∴OM=DC。∴OM=AH。∵OM‖AH，∴△OMG’∽△HAG’。∴。∴G’是△ABC的重心。∴G与G’重合。∴O、G、H三点在同一条直线上。2、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上最简单的方法是以H(垂心)为位似中心1/2为位似比作位似变换，简单的说就是对于平面上的任何一个点X把它变成H与X的中点X'，也可以理解

6、为按比例缩小，通过这样的变换我们发现所有的三角形的顶点都变成了欧拉点.以H和某两个顶点(比如B和C)作一个平行四边形HBL'C那么由于∠BL'C=∠BHC所以∠BL'C+∠BAC=180°于是ABCL'四点共圆.L'在△ABC的外接圆上.L'变成了L而H关于某条边(如BC)的对称点D'也由于∠BD'C=∠BHC所以∠BD'C+∠BAC=180°于是ABCD'四点共圆.D'在△ABC的外接圆上.D'变成了D也就是说在这个位似变换下,有九个在△ABC的外接圆上的点,ABC三点,类似L'的三点,类似D'的三点,一共九个点都在△ABC的外接圆上,

7、他们变成了三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点.当然这九个点都在一个圆上,这个圆就是△ABC的外接圆通过变换后得到的圆---九点圆3、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上4、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。圆周上的5点，过任4点做九点圆圆心，这些点在同一个圆上，叫五边形的九点圆，同理有六，七……n边形的九点圆把圆周看作复平面上的单位圆

8、z₁

9、=

10、z₂

11、=

12、z₃

13、

14、=

15、z₄

16、=1△z₂z₃z₄的九点圆圆心为1/2（z₂+z₃+z₄）……欧拉定理同理有1/2（z₁+z₃+z₄）1/2（z₁+z₂+z₄精彩文档实用标准文案）1/2（z₁+z₂+z₃）

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