第29届全国中学生奥林匹克物理竞赛复赛试卷及答案

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1、第29届全国中学生奥林匹克物理竞赛复赛试卷　题号　　一　二　三　四　五　六　　　七　　八　　　总分　得分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　阅卷　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　复核　　　　　　　　　　　　　　本卷共8题，满分160分　　填空题把答案填在题中的横线上或题给的表格中，只要给出结果，不需写出求解过程。　　计算题的解答应写出改要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。　　　一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，

2、湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触，已知湖水密度为ρ；物块边长为b，密度为ρ，且ρ，<ρ。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。　由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称系.设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为　()(1)　　式中为重力加速度.物块的

3、重力为　　　(2)设物块的加速度为，根据牛顿第二定律有　(3)将(1)和(2)式代入(3)式得　　　(4)　将系坐标原点向下移动而建立新坐标系，简称系.新旧坐标的关系为　(5)把(5)式代入(4)式得　　　(6)　　　(6)式表示物块的运动是简谐振动.若，则，对应于物块的平衡位置.19　　　　　　由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为　　　(7)物块运动方程在系中可写为　　　(8)利用参考圆可将其振动速度表示为　　(9)式中为振动的圆频率　(10)在(8)和(9)式中和分别是振幅和

4、初相位，由初始条件决定.在物块刚被释放时，即时刻有，由(5)式得　(11)　(12)　　由(8)至(12)式可求得　(13)(14)　　将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得　(15)(16)　由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中.若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由

5、振动的周期决定.为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况.显然，在系中看，物块下底面坐标为时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在系中这一临界坐标值为　　　（17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下处.注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠，下面分两种情况讨论：　I．.由(13)和(17)两式得　　(18)　　　在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中.因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置.由(10)式得振动周期　19　　　

6、　　　(19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间　　　(20)　II．.由(13)和(17)两式得　(21)　在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下.设从初始位置起，经过时间物块刚好全部浸入湖水中，这时.由(15)和(17)式得　(22)　　取合理值，有　(23)由上式和(16)式可求得这时物块的速度为　　(24)　此后，物块在液体内作匀减速运动，以表示加速度的大小，由牛顿定律有　　　(25)　　设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为，有　(26)　由(24)-(26

7、)得　　(27)　物块从初始位置出发往返一次所需的时间为　　　(28)　　　　　　评分标准：　　　本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.　　19　　　　　　　　　　　　　　二、（23分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯项端可超过地球的同步卫星的高度R（从地心算起）延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提

8、升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。　1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。　　i.论证卫星脱落后不会撞击地面。　　ii.如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在0-12小时及12-24小时两个时间段内被太空电梯回收的可能性。　　　2、