耶鲁教育专升本《高数》复习

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1、耶鲁教育专升本《高数》复习（四）[解析]解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必达法则）即，得.（2）若求a,b的值.[解析]型未定式.当时，.令于是，得.即，所以.[0402][0017]，则k=_____.（答:ln2）[解析]前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）

2、在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。-7-耶鲁教育专升本《高数》复习（四）4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。[主要知识内容]（一）函数连续的概念1.函数在点x0处连续定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即则称函数y=f（x）在点x0处连续。函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：定义2设函数y=f（x）在点x0的某个邻

3、域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即定义3设函数y=f（x），如果，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右连续。2.函数在区间[a，b]上连续定义如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点x处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：，在右端点b连续，是指

4、满足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3.函数的间断点定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x0处有下列三种情况之一：（1）在点x0处，f（x）没有定义；（2）在点x0处，f（x）的极限不存在；（3）虽然在点x0处f（x）有定义，且存在，但，则点x0是f（x）一个间断点。，则f（x）在A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续C.x=0处间断，x=1处连续D.x=0

5、处连续，x=1处间断-7-耶鲁教育专升本《高数》复习（四）解：x=0处，f（0）=0∵f（0-0）≠f（0+0）x=0为f（x）的间断点x=1处，f（1）=1f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1处连续［答案］C[9703]设，在x=0处连续，则k等于A.0B.C.D.2分析：f（0）=k［答案］B例3[0209]设在x=0处连续，则a=解：f（0）=e0=1∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1［答案］1（二）函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，

6、可以得到下列连续函数的性质。定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）在x0处连续-7-耶鲁教育专升本《高数》复习（四）（2）f（x）·g（x）在x0处连续（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续。在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即定理

7、1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。（三）闭区间上连续函数的性质在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理1.17（介值定

8、理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得-7-耶鲁教育专升本《高数》复习（四）推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0（四）初等函数的连续性由函数在一点处连续的