不定积分例的题目及问题详解

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1、实用标准文案求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:被积函数，由积分表中的公式（2）可解。解：★(2)思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：★(3)思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：★(4)思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：★★(5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：★★(6)思路:注意到，根据

2、不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。★(7)思路:分项积分。解：★(8)思路:分项积分。解：★★(9)思路:？看到，直接积分。解：精彩文档实用标准文案★★(10)思路:裂项分项积分。解：★(11)解：★★(12)思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。解：★★(13)思路:应用三角恒等式“”。解：★★(14)思路:被积函数，积分没困难。

3、解：★★(15)思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解：★★(16)思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解：★(17)思路:不难，关键知道“”。解：★(18)思路:同上题方法，应用“”，分项积分。解：★★(19)思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。解：★★(20)思路:注意到被积函数，则积分易得。解：精彩文档实用标准文案★2、设，求。知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：即可。解：等式两边对求导数得：★3、设的导函数为，求的原函数全体。知

4、识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，所以的原函数全体为：。★4、证明函数和都是的原函数知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。解：，而★5、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为，由题意可知：

5、，；又点在曲线上，适合方程，有，所以曲线的方程为★★6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是，问：（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：，则由速度和位移的关系可得：，又因为物体是由静止开始运动的，。(1)秒后物体离开出发点的距离为:米；(2)令秒。2、求下列不定积分。知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思

6、路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！★（1）思路:凑微分。解：精彩文档实用标准文案★(2)思路:凑微分。解：★(3)思路:凑微分。解：★(4)思路:凑微分。解：★(5)思路:凑微分。解：★★(6)思路:如果你能看到，凑出易解。解：★(7)思路:凑微分。解：★★(8)思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。解：★★(9

7、)思路:本题关键是能够看到是什么，是什么呢？就是！这有一定难度！解：★★(10)思路:凑微分。解：方法一：倍角公式。方法二：将被积函数凑出的函数和的导数。方法三：三角公式，然后凑微分。精彩文档实用标准文案★★(11)思路:凑微分：。解：★(12)思路:凑微分。解：★★(13)思路:由凑微分易解。解：★★(14)思路:凑微分。解：★★(15)思路:凑微分。解：★(16)思路:凑微分。解：★★(17)思路:经过两步凑微分即可。解：★★(18)思路:分项后分别凑微分即可。解：★★(19)思路:裂项分项后分别凑微分即可。解：精

8、彩文档实用标准文案★(20)思路:分项后分别凑微分即可。解：★(21)思路:分项后分别凑微分即可。解：★★(22)思路:裂项分项后分别凑微分即可。解：★(23)思路:凑微分。。解：★★(24)思路:降幂后分项凑微分。解：★★★(25)思路:积化和差后分项凑微分。解：★★★(26)思路:积化和差后分项凑微分。解：★★★(27)思路: