4—4.3直线地全参数方程

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1、实用标准文案4—4.3直线的参数方程【学习目标】1.能选择适当的参数写出直线的参数方程.2.会运用直线的参数方程解决有关问题。【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1.直线参数方程的标准形式:经过定点,倾斜角为的直线的参数方程为:(为参数);我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。2.参数的几何意义:参数表示直线上以定点为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号,也即,表示直线上任一点M到定点的距离。当点在上方时,;当点在下方时,;当点与重合时,;要点注释:若直线的倾角时,直线的参数方程为.要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P0

2、(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是(t为参数)在一般式中,参数t不具备标准式中t的几何意义。若a2+b2=1,则为标准式,此时,|t|表示直线上动点P到定点P0的距离;若a2+b2≠1,则动点P到定点P0的距离是|t|.要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地,对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为,.(t为参数),斜率为(1)当=1时,则t的几何意义是有向线段的数量.(2)当≠1时,则t不具有上述的几何意义.可化为令t¢=则可得到标准式t¢的几何意义是有向线段的数量.要点四、直线参数方程的应用1.直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法:设

3、过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是(t为参数)若P1、P2是l上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则(1)P1、P2两点的坐标分别是:(x0+t1cosα,y0+t1sinα),(x0+t2cosα,y0+t2sinα);(2)|P1P2|=|t1-t2|;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则t=中点P到定点P0的距离|PP0|=|t|=||(4)若P0为线段P1P2的中点,则t1+t2=0.2.用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型:(1)有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程,当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分

4、别用参变量t1、t2表示。一般情况A、B都在定点两侧,t1,t2符号相反,故

5、AB

6、=

7、t1-t2

8、,即可作分公式。且因正、余弦函数式最大(小)值较容易得出,因此类型题用直线标准参数方程来解,思路固定、解法步骤定型,计算量不大而受大家的青睐。(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数;若定点恰为AB为中点,则t1+t2=0.这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交,且与中点坐标有关的问题,用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。(3)有关两线段长的乘积(或比值)的题型若F为定点,P、Q为直线

9、与曲线两交点,且对应的参数分别为t1、t2.则

10、FP

11、·

12、FQ

13、=

14、t1·t2

15、,由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积(或商)的问题,用直线的标准参数方程精彩文档实用标准文案解决为好【典型例题】类型一、直线的参数方程例1.(2016春福州校级期中)直线(t为参数)的倾斜角是()A.20°B.70°C.110°D.160°【思路点拨】因为不是标准形式,不能直接判断出倾斜角,有两种方法:化为普通方程,化标准形式。【答案】D【解析】第一种方法:化为普通方程,求倾斜角.把参数方程改写成,消去t,有,即,所以直线的倾斜角为160°.第二种方法:化参数方程为直线

16、的标准参数方程,所以直线的倾斜角为160°,选D.【总结升华】根据参数方程判断倾斜角,首先要看参数方程的形式是不是标准形式,如果是标准形式,根据方程就可以判断出倾斜角,例如(t为参数),可以直接判断出直线的倾斜角是20°,但是如果不是标准形式,就不能直接判断出倾斜角了。举一反三:【变式1】已知直线的参数方程为(t为参数),求直线的倾斜角.【答案】关键是将已知的参数方程化为的形式。若化成另一种形式,若2t为一个参数,则,在内无解;而化成时,则得.故直线的倾斜角为.【变式2】求直线的斜率。【答案】∴【变式3】为锐角,直线的倾斜角(  )。A、B、C、D、【答案】,相除得,∵

17、,∴倾角为,选C。【变式4】已知直线的参数方程为,的参数方程为.试判断与的位置关系.【答案】解法一:将直线化为普通方程,得y=2x+1,将化为普通方程,得.因为,所以两直线垂直.解法二:由参数方程可知的方向向量是a1=(2,4),的方向向量是a2=(2,-1),又2×2+4×(-1)=0,∴.即两条直线垂直.精彩文档实用标准文案例2.设直线的参数方程为.(1)求直线的直角坐标方程;(2)化参数方程为标准形式.【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义,分别是直线的倾斜角的正、余弦值,且y值中t的系数一定为正.【解析

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