应用概率统计试题解答

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1、应用概率统计试题解答天水市麦积区教师进修学校王景昕一、填空题：1．设是3个随机事件，则“三个事件中恰有两个事件发生”用表示为；答：恰好有一个事件发生表示为，至多有一个事件发生表示为，至少有一个事件发生表示为，至少有两个事件发生表示为，至多有两个事件发生表示为，三个事件都发生表示为，三个事件都不发生表示为。其中至多有两个事件发生的对立事件是三个事件都发生。2．若事件相互独立，且，，则=；答：0.625由于事件相互独立，因此有，从而得到3．设的概率分布为，，则；答：根据归一性，应当有，即，求得4．设随机变量服从二项分布，已知，，则参数=；答：二项分布的期望

2、，方差，将两式进行比较，可有，即。5．设是来自的样本，则；答：66．设随机变量与相互独立时，则方差；答：随机变量与相互独立时有，从而有。7．设为二维随机向量，与的协方差定义为；答：若存在，则称它为随机变量与的协方差，记为，即。8．是来自总体的一个样本，，则；答：，。更一般地，设是来自于正态总体的样本，是样本均值，样本方差，则，，。9．若总体，且已知，用样本检验假设：时，采用统计量是；答：在为真的条件下该统计量服从分布。10．设总体，则的最大似然估计为。答：的最大似然估计为，的最大似然估计为。二、判断题：1．两个事件互斥与相互独立是完全等价的；6答：错。

3、互斥与相互独立没有必然关系，互斥未必独立，独立未必互斥。2．对于任意两个事件，必有；答：对。根据德摩根律，，。3．是取自总体的样本，则服从分布；答：错。应当服从分布，因为。4．设，，，则表示；答：对。其中。5．以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。答：错。对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。相当于。6．设表示3个事件，则表示“都不发生”；答；对。7．为两个事件，则（全集）；答：错。。8．设，且，，则=8；答：对。二项分布的期望，方差，将两式进行比较有，即，代回期望得=8。9．设总体，,,是来自于总

4、体的样本，则是6的无偏估计量；答：错。由于，因此是的有偏估计。10．经过显著性检验而没有被拒绝的假设一定是正确的假设。答：错。经过显著性检验而没有被拒绝的假设不一定是正确的假设，仍然有“存伪”的可能。三、计算题1．若从10件正品2件次品的一批产品中，任取2次，每次取一个，不放回，试求第二次取出的是次品的概率。解：令“第次取出的是次品”，。由古典概型的概率计算公式易知；又因为第一次取出后不放回，所以，；因此利用全概率公式可得所求的概率为。注：第二次取出次品是在不放回的条件下，符合条件概率的定义要求。同时，第一次取出次品和第一次取出正品可以作为样本空间的一

5、个划分，符合全概率公式的要求。2．设，试求的概率密度为。解：因为随机变量服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：；进而，将代入上述表达式可得所求的密度函数为：。3．设随机变量的密度函数为，试求常数。解：由题设可知随机变量的密度函数为，其中为常数。利用密度函数的归一性质，可得：，解得。64．设的均值、方差都存在，且，令，试求与。解：；。注：由于的均值（即期望）、方差都存在，是常数，因此有，。5．设两个相互独立的随机变量的和的方差分别为4和2，试求随机变量的方差。解：由题设知与相互独立，利用方差的性质可得。又因为，代入上式可得=。6．设随机变量服从参数

6、为的普阿松分布，且已知，求参数的值。解：由题设知，，得；再由假设；即有，所以。注：根据方差的定义可知，从而有。7．设总体服从参数为的普阿松分布，它的分布律为，是取自总体的样本，试求参数λ的最大似然估计量。解：似然函数为，似然方程为，解得.因为的二阶导数总是负值，可见，似然函数在处达到最大值。所以，是λ的最大似然估计。四、证明题：6设服从区间上的均匀分布，试证明（为常数）也服从均匀分布。证明：由题设可知服从区间上的均匀分布，所以的密度函数为先求（为常数）的分布函数：再对求导数可得的密度函数为故服从上的均匀分布。6