曲面的切平面与法线

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1、8.5.2曲面的切平面与法线过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不全为零，另设曲线Γ是过点M且在曲面Σ上的任意一条曲线，它的方程为t=t0是点M0所对应的参数，不全为零。由于曲线Γ在曲面Σ上，于是曲线Γ上任意一点的坐标满足曲面Σ的方程，即有恒等式图8-22又由于函数F(x，y，z)在点M处有连

2、续的偏导数，函数在t=t0处可导，所以复合函数在t=t0处可导，且全导数为恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有上式说明向量与向量垂直。向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处的切线与向量垂直，由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲面Σ上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在以向量为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面Σ在点M处的切平面方程为过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为如果曲面Σ的方程为z=f(x，y),则只需设那么曲面

3、Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且,此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为法线方程为 例1：求曲面在点M(3，1，1)处的切平面方程和法线方程。解：因为，故所以，曲面在点M处的切平面方程为18(x–3)+2(y–1)–2(z–1)=0即9x+y–z–27=0法线方程为即 例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。解：设，则所以，圆锥面在点M处的切平面方程为1·(x–1)+0·(y–0)–(z–1)=0即x–z=0法线方程为即 例3：在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平面平行，并求该点的切平面及法线方程。解：设所

4、求点为，椭圆抛物面上每一点处的法向量为在点处的法向量为曲面在点的切平面为：要使切平面与以知平面平行，必有两平面的法向量平行，即由此得。代入椭圆抛物面方程得。故所求的平面方程为：，即法线方程为。