知识讲解_集合与函数综合_提高

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1、集合与函数综合编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.集合（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2.函数(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式

2、；了解分段函数及其简单应用；（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义；（5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质．【知识网络】【要点梳理】一、集合1．集合含义与表示（1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法．它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．2．集合间的关系（1）若集合中A的任何元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记为“AB”或“BA”．（2）若AB，且B中至少存在一个元素不是A的元素，则A是B的真子集，记为

3、“AB”或“BA”．（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”．判断集合相等还可以用下面两种方法：且A=B；．要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．3．集合的基本运算（1）由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的并集，记作“A∪B”．用数学语言表示为A∪B={x

4、x∈A，且x∈B}．（2）由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的交集，记作“A∩B”．用数学语言表示为A∩B={x

5、x∈A，且x∈B}．（3）若已知全集U，A是U的子集，则由所有U中不属于A的元素构成的集合称为集合A在U中的

6、补集．记作“”．用数学语言表示为．要点诠释：；．二、函数及其表示1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的

7、一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．三、函数的性质1．函数的单调性（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．2．函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定

8、义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．【典型例题】类型一：集合的关系及运算例1．已知全集U=R，集合M={x

9、－2≤x－1≤2}和N={x

10、x=2k－1，k=1，2

11、，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（）A．3个B．2个C．1个D．无穷多个【答案】B【解析】∵阴影部分为M∩N={x

12、－2≤x－1≤2}∩{x

13、x=2k―1，k=1，2，…}={x

14、―1≤x≤3}∩{x

15、x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题