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1、用LatticeBoltzmann方法模拟二维水力过渡过程程永光，张慧(武汉大学水利电力学院)摘要：本文旨在探索用LatticeBoltzmann方法模拟二维水力过渡过程的可行性。应用ChapmanEnskog展开技术，导出了一套多尺度方程，将LB方程和其所对应的宏观方程联系起来；根据水力过渡过程基本方程的特点，建立了计算二维水力过渡过程的一个LB模型；应用该模型对一维正弦波的传播、一维断波的传播与反射、二维拐角衍射波等典型算例，以及近似为二维问题的混凝土蜗壳在机组甩负荷和起动工况下的水力过渡过程进行了模拟分析。研究表明用LB方法模拟多维水力
2、过渡过程是可行的，值得进一步探讨。关键词：水力过渡过程；LatticeBoltzmann方法；模拟；二维流场作者简介：程永光(1968-)，男，山西武乡人，博士，副教授，主要从事水电站水力学研究。 在水利水电工程中，当流道横向尺度与纵向尺度相当时，水流的二维或三维特性往往比较明显，用一维方法进行水力过渡过程计算一般难以反映实际，多维计算分析势在必行。二十世纪七十年代以来，国内外先后出现过格子法(Latticework)[2，5]、双特征线法(Bicharacteristics)[4]、近特征线法(Nearcharacteristics)[3
3、]、类特征线法(Characteristicslike)[1，5]等多种计算多维流体过渡过程的数值方法，它们计算过一些二维问题，取得了较好结果。这些方法有容易失稳[3]、格式复杂[4]和计算网格固定[1，5]等不足，计算二维过渡过程一般均可，但如果计算三维问题，难度会大大增加。LatticeBoltzmann(LB)方法是近十年来发展起来的一种由运动论原理出发的流动计算技术[6～8]，具有算法简单、压力直接算出、并行度高、几何边界易处理等优点，目前在非线性偏微分方程求解、多相流、多孔介质流、特别是大规模三维流场的模拟上显示了较大潜力。能不能发
4、挥LB方法的优点并将之引入水电工程流场计算，值得逐步探讨。文献[7]建立了LatticeBoltzmann一维水击计算模型，并通过典型算例的计算分析与特征线法进行了比较，结果表明LB方法计算一维水力过渡过程有效可行。本文建立LB二维水力过渡过程模型，计算一些理想流动并尝试模拟混凝土蜗壳内的水力过渡过程，为将来把LB方法应用于实际二维和三维水力过渡过程的模拟打下基础和提供借鉴。1LB方程及多尺度方程1.1LatticeBoltzmann方程 LB方法的核心是LatticeBoltzmann方程，这是一组可由统计力学中Boltzmann方程导出的
5、，关于固定网格子粒子分布函数的演化式。它的最简单形式是带BGK单松弛碰撞项的LB方程[6]fα(r+eα,t+1)-fα(r,t)=-1/τ[fα(r,t)-fα(0)(r,t)],α=0，1，2，…b(1)其中fα(r,t)是单粒子分布函数；fα(0)(r,t)为局部平衡分布函数，是局部达到平衡态时的粒子分布函数；τ为无量纲松弛时间，反映fα(r,t)趋近于fα(0)(r,t)的速度；r是计算网格节点；eα是网格节点连线形成的向量，也就是粒子的运动速度向量；α表示给定的粒子运动方向；粒子共有b+1个运动方向(包括e0=0).方程的右边反映运
6、动粒子相互碰撞的影响，左边反映粒子的迁移。 LB方法模拟流场的过程实际上就是中观方程(1)在计算网格上的简单迭代，流场的宏观量如密度、流速等按下式由中观量fα(r,t)计算得到(2)1.2ChapmanEnskog展开及多尺度方程 LB方程的演化对应一定的宏观流动现象。利用ChapmanEnskog展开和多尺度分析技术可以给出LB方程和它所对应宏观方程的联系[8]. 设流场离平衡态不远，分布函数fα(r,t)对局部平衡分布函数fα(0)(r,t)只有微小的偏离，且满足(3)于是可作如下ChapmanEnskog展开fα=fα(0)+εfα
7、(1)+ε2fα(2)+O(ε3)(4)其中ε《1是个很小的正数，称为Knudsen数，是粒子运动的平均自由程与宏观特征长度的比值，ε-1与网格划分的规模相当。这样就有(5)再引进两种时间尺度t1,t2和空间尺度r1，并令t=εt1+ε2t2,r=εr1(6)对fα(r+eα,t+1)在(r,t)作Taylor展开，利用(2)～(6)式，经一系列数学变换[8]，得到如下多尺度方程(7)(8)O(ε2)：(9)(10)式中：j,k,m是正交坐标方向，以上采用了张量标记法。2二维水力过渡过程LB模型的建立2.1二维水力过渡过程基本方程 二维水力过
8、渡过程的基本方程可由典型的Euler方程得到(11)(12)dp=c2dρ(13)式(11)是连续方程，式(12)是动量方程，式(13)是等熵状态方程，其中，ρ为密
