平均变化率、瞬时速度与导数

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1、选修1-23.1.1平均变化率、瞬时速度与导数一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足(　　)A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0D．Δx≠0[答案]　D[解析]　自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是(　　)A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案]　C[解析]　由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t

2、0时的速度为(　　)A．4＋4t0B．0C．8t0＋4D．4t0＋4t[答案]　C[解析]　Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，＝4Δt＋4＋8t0，＝(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.4．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝(　　)A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案]　D[解析]　当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，因变量y的改变量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．5．函数y＝3

3、x2在x＝1处的导数为(　　)A．2B．3C．6D．12[答案]　C[解析]　f′(1)＝＝＝6.6．若函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于(　　)A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2[答案]　C[解析]　＝＝4＋2Δx.7．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，汽车的加速度是(　　)A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2[答案]　A[解析]　由于s＝2t3－5t2，利用导数的定义可求得v

4、＝s′＝6t2－10t，所以汽车的加速度a＝v′＝12t－10，于是当t＝2s时，汽车的加速度a＝12×2－10＝14(m/s2)．8．如果函数f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值是(　　)A.B.C．1D．3[答案]　A[解析]　＝＝＝，所以f′(x0)＝＝＝，所以x0＝.9．设f(x)在x＝2处有导数，则等于(　　)A．2f′(2)B.f′(2)C．f′(2)D．4f′(2)[答案]　C[解析]　f′(2)＝＝，所以＝＝(＋)＝(f′(2)＋f′(2))＝f′(2)．10．在x＝1附

5、近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是(　　)A．④B．③C．②D．①[答案]　B[解析]　①的平均变化率为1，②的平均变化率为0.69，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.二、填空题11．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．[答案]　8[解析]　＝＝8.12．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于____．[答案]　2[解析]　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－

6、a－4＝aΔx，＝a，∴＝a，∴f′(1)＝a＝2.13．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．[答案]　π[解析]　∵Δy＝π×23－π×13＝，∴V′＝＝＝π.14．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则＝________.[答案]　8[解析]　＝2＝2f′(x0)＝8.三、解答题15．求函数f(x)＝x2＋3在[3,3＋Δx]内的平均变化率．[解析]　函数f(x)在[3,3＋Δx]内的平均变化率为＝＝＝6＋Δx.16．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别

7、计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析]　(1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝－2.(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为＝＝2，g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为＝＝－2.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析]　第一年婴儿体重平均变化率为＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为＝0.2

8、5(千克/月)．18．用导数的定义求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．[解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝＝∴＝，∴li＝li＝＝－，∴y′

9、x＝1＝f′(1)＝－.