[研究生入学考试]数一历年真题

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1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数一试题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）极限（）（A）（B）（C）（D）（2）设函数由方程确定，其中为可微函数，且。则（）（A）（B）（C）（D）（3）设、为正整数，则反常积分的收敛性（）（A）仅与有关（B）仅与有关（C）与、都有关（D）与、都无关（4）（）（A）（B）（C）（D）（5）设是矩阵，是矩阵，且，其中为阶单位矩阵，则（）（A）（B），（C），（D）（6）

2、设是阶实对称矩阵，且，若，则相似于（）35（A）（B）（C）（D）（7）设随机变量的分布函数为，则（）（A）（B）（C）（D）（8）设为标准正态分布的概率密度函数，为上均匀分布的概率密度函数，若（，），则，满足（）（A）（B）（C）（D）二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）设，则（10）（11）已知曲线的方程为（），起点为，终点为，则（12）设，则的形心坐标35（13）若，，，若由形成的向量组的秩为，则（14）设随机变量的分布为（），则三、解答题（15～23小题

3、，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）（15）（本题满分10分）求微分方程的通解。（16）（本题满分10分）求的单调区间与极值。（17）（本题满分10分）（I）比较与（）；（II）记（），求。（18）（本题满分10分）求幂级数的收敛域与和函数。（19）（本题满分10分）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面与面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分。（20）（本题满分11分）35设，，已知线性方程组存在两个不同的解。（I）求，；（II）求

4、的通解。（21）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型为，且的第三列为。（I）求；（II）证明为正定矩阵。（22）（本题满分11分）设二维随机变量的联合密度函数为，，。求及。（23）（本题满分11分）设总体的分布律为，其中为未知参数，以表示来自总体的简单随机样本（样本容量为）中等于（）的个数，求常数，使为的无偏估计量。352009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）

5、当时，与等价无穷小，则（）....-1-111（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，，则（）....（3）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（）35.0231-2-11.0231-2-11.0231-11.0231-2-11（4）设有两个数列，若，则（）当收敛时，收敛.当发散时，发散.当收敛时，收敛.当发散时，发散.（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为（）..35..（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）....（7）设随机变量的分

6、布函数为，其中为标准正态分布函数，则（）....（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（）0.1.2.3.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数具有二阶连续偏导数，，则。（10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为。35（11）已知曲线，则。（12）设，则。（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为。(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和

7、分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则。三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。（16）（本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值。（17）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。（Ⅰ）求及的方程（Ⅱ）求与之间的立体体积。（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在

8、处连续，在内可导，且，则存在，且。（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面的外侧。35（20）（本题满分11分）设①求满足的.的所有向量,.②对①中的任意向量,证明,,无关。（21）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次