介质的非线性极化

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1、第2章介质的非线性极化本章主要问题：l光在介质中传播的波动方程有哪些不同形式？l介质极化率如何定义，有那些对称性质？l极化率实部和虚部有何物理意义，其间有何关系？2.1非线性介质的波方程2.1.1非线性介质的麦克斯韦方程光波在非性线介质中传播时也服从麦克斯韦方程：(2.1.1)(2.1.2)(2.1.3)(2.1.4)物质方程(2.1.5)(2.1.6)(2.1.7)式中、——电场强度、电感应强度、——磁场强度、磁感应强度、——电极化强度、磁极化强度、——真空介电系数、真空磁导率s——电导率（代表介

2、质的吸收损耗）——电流密度，——自由电荷密度22(2.1.8)在非线性介质中，可以展开为的幂级数：.(2.1.9)是n阶电极化率，它是个n+1阶张量。极化强度可分成线性和非线性两部分，其非线性部分就是极化强度的高次项之和，以表示，则。(2.1.10)。将式(2.1.10)代入(2.1.5)可得,(2.1.11)这里(2.1.12)是介质的线性介电系数；其中是线性极化率。在各向异性介质中和二者都是复数二阶张量。一般非线性介质是绝缘体(，)和非磁性材料（），则非线性介质的麦克斯韦方程组可表为：(2.1.

3、13)(2.1.14)(2.1.15)2.1.2各向异性介质的时域波方程将(2.1.13)的两边进行运算，再将式(2.1.14)代入，并用式(2.1.15)得到。(2.1.16)这就是描述光在各向异性非线性介质中传播的时阈波动方程。该方程比线性波动方程仅多了右边的一项。相当存在一个次波源。第二项与介质的吸收损耗有关，若介质为无损耗的，即，再利用,式(2.1.16)表为22(2.1.17)这是光在无损耗各向异性非线性介质中传播的时阈波动方程。为解方程求得场强，必须首先求出非线性极化强度。2.1.3各向

4、异性非线性介质的频域波方程将和展开成个单色平面波的组合（傅里叶展开）：(2.1.18)(2.1.19)式中为坐标矢量，为单色平面波的矢量，为光波的频率。将式(2.1.18)和(2.1.19)代入式(2.1.17)，消去两边的求和号和i序数，可得到(2.1.20)这是各向异性非线性介质的单色平面波的波方程。2.1.4各向同性非线性介质频域波方程在方程(2.1.20)中，利用，考虑各向同性介质，有；再用关系式，和，则得(2.1.21)这是各向同性非线性介质的单色平面波的波方程。它是一个非齐次二阶微分方程

5、，难于求解，一般都要做近似简化处理，慢变振幅近似是一种常用的方法。现在考虑一个沿z方向传播的稳态单色平面波，振幅随z变化，但不随时间变化。电场强度和非线性极化强度分别表为：22(2.1.22)式中和分别是原光波和极化波的波失。将式(2.1.22)代入(2.1.21)，其中式(2.1.21)左边第一项为因此式(2.1.21)表为(2.1.23)此为在各向同性介质中z向传播的单色平面波的波方程。假设在波长量级的距离内光波振幅的变化非常慢，满足以下条件：，(2.1.24)并假设随的变化可以忽略不计，则式(

6、2.1.23)中略去第一项写成或(2.1.25)式中。这样，在慢变近似条件下，各向同性非线性介质中z向传播的单色波的频域波方程被简化为简单的一阶微分方程，便于求解。式(2.1.25)描述在稳态和在慢变近似条件下的各向同性非线性介质中沿z向传播的单色光波的频域波方程。若存在介质对光电场的吸收，根据式(2.1.16)，式(2.1.25)应改写为(2.1.26)式中是介质的吸收系数。222.1.5各向同性非线性介质时域波方程考虑各向同性介质及，(2.1.17)式变为(2.1.27)此为各向同性非线性介质中

7、的时阈波方程。设时域下的波场为单色平面波(2.1.28)式(2.1.27)中的各项为假设波的振幅随空间和时间皆缓慢变化，满足以下慢变近似条件：和(2.1.29)则在(2.1.27)中略去场振幅的二阶时间导数和二阶空间导数，得到一阶波方程：(2.1.30)这是在慢变近似条件下各向同性非线性介质中单色波的时域波方程。若光波是一个宽脉冲，在(2.1.30)式中是光波的相速度；若光波是一个短脉冲，在(2.1.30)式中是波包的群速度。2.2非线性极化率2.2.1极化强度的频域表达式考虑电极化强度与电场强度之

8、间的因果关系。在时刻，介质感应的电极化强度是由在此之前时刻的电场强度在时间内的作用所确定，二者呈正比关系，22(2.2.1)考虑在之前所有时间电场强度对的贡献，则有(2.2.2)实际上，当时，对没有贡献，。再取和的傅里叶变换(2.2.3)将式(2.2.3)代入式(2.2.2)，得到频域的表达式(2.2.4)式中(2.2.5)在非线性情况下，可以展开为的幂级数，极化强度在频域中表达为(2.2.6)其中(2.2.7)(2.2.8)式中。下面给出各阶电极化强度的直角坐标分量