压杆稳定欧拉公式是无源之水

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1、关于压杆稳定欧拉公式不成立的证明○　林伊宁（广西建设工程质量安全监督总站）前言2007年11月，笔者在《建筑安全》杂志上发表了一篇关于压杆稳定欧拉公式不成立的文章，2009年11月，又在《广西城镇建设》杂志上发表了第二篇，这两篇文章曾挂在广西建设工程质量安全监督信息网上。几年来，就欧拉公式是否成立的问题，不少读者来函询问，也有学者激烈反驳。笔者与读者不断讨论，与学者反复辩论，问题越辩越明，欧拉公式不成立的答案最终浮出水面。为此，笔者衷心感谢参与讨论的读者和与笔者辩论的学者，是你们将笔者引入理论领域的纵深地带，最终帮助笔者证明欧拉公式不成立。可以说，没有你们的帮助

2、，笔者不可能推翻欧拉公式。也有人说，力学界对此不承认。笔者的态度是，正确的终归是正确的，不求任何人承认。为将欧拉公式的错误系统地展示出来，笔者对发表在2009年第11期《广西城镇建设》杂志上，题为《关于压杆稳定欧拉公式实际上不存在的论证》一文作了重大修改，纳入最新的辩论成果，写成本文呈献给广大读者。欢迎对欧拉公式继续讨论。［摘要］　压杆稳定欧拉公式是从纯弯曲梁的挠曲线近似微分方程导出的。本文证明在压杆领域没有意义，进而得出压杆稳定欧拉公式因出处错误而不成立的结论。［关键词］　中性轴　中性层　100　引言要证明压杆稳定欧拉公式（下文简称“欧拉公式”）不成立，必须证

3、明其出处在压杆领域没有意义。为此，本文从纯弯曲的基础理论开始，步步求证。本文第1、2章的内容摘自孙训方等主编的1979年版高等学校试用教材《材料力学》的第5、6、10各章，其余为本文作者的求证。1EIυ″＝-M(x)的来历及有关关系式1.1纯弯曲梁中一些量之间的关系从纯弯曲梁开始研究。设某等截面梁仅受一对力偶M作用，梁上除此之外再无其他外力（如图1所示）。图1　纯弯曲梁图1a的梁在M的作用下弯曲如图1b所示，在x位置上取一微段dx研究如图1c所示。梁受弯后，dx段上部受压缩短，下部受拉伸长，中间必有一层既不缩短也不伸长，此层称为中性层。中性层与截面的交线Z即为中

4、性轴，要确定中性轴的位置，先要确定一些量之间的关系。如图1c所示，ρ是dx变弯后中性层的曲率半径，dθ是dx10变弯后梁截面的转角，y是截面上的面积微元dA到中性轴的距离，它们之间有如下关系：（1-1）式中ε是材料的应变。由虎克定律σ＝εE得到梁截面上各点的应力σ＝E　　　　　　　　　　　　　　　（1-2）1.1研究弯曲问题的基本方程在图1所示纯弯曲状态下研究梁正截面上的弯矩：对外而言，梁中任一截面上的弯矩M(x)等于外力偶M；对内而言，梁中任一截面上的弯矩M(x)，等于截面上各面积微元应力对中性轴微力矩之和。于是得到纯弯曲梁上任一截面的弯矩值：M(x)＝M＝＝

5、＝式中A为截面面积，表示在截面上作积分。令I＝为截面的惯性矩，于是得到M(x)＝即　　　　　　　　　　　（1-3）这就是研究弯曲问题的基本方程。导出欧拉公式的挠曲线近似微分方程将由此方程导出。1.2中性轴的位置如1.1所述，I＝中的y是面积微元dA到中性轴的距离。那么，在纯弯曲状态下，y的起点即中性轴在何处？这个问题是要解决的。在图1所示的纯弯曲状态下，梁的轴向外力为零。所以：梁任一截面上的轴向内力N＝0；10梁任一截面上都存在应力，但这些应力的合力必等于零。于是得到纯弯曲梁上任一截面的轴向内力值：N＝＝＝＝＝0　　　　　（1-4）式中：Sz＝是截面对Z轴的面积

6、矩，≠0，只有Sz＝0。Sz＝0即截面的面积矩为零。面积只有对自己的形心轴之矩为零，对其它轴之矩都不为零，所以可以确定：在纯弯曲状态下，y的起点在截面形心轴，即中性轴与截面形心轴重合（如图1c所示，中性轴Z即为截面形心轴）；如果不是纯弯曲并且N≠0，就无中性轴与截面形心轴重合的结论。并且当N≠0（即S≠0）时，中性轴必定不在截面形心轴位置。1.1纯弯曲梁的挠曲线近似微分方程式（1-3）左端的是纯弯曲梁中性层的曲率，它的精确表达式是：略去微量。得到　　　　　　　　　　（1-5）将其代入式（1-3），得在图1的坐标系中，使梁向下挠的弯矩为正，而与之相对应的曲率为负，

7、所以得：　　　　　　　　　　　　（1-6）这就是纯弯曲梁的挠曲线近似微分方程。欧拉公式是由此方程导出的。2欧拉公式的推导过程本章以图2所示临界状态下的理想直杆为例，展示临界力欧拉公式的推导过程。欧拉借用梁在纯弯曲状态下的挠曲线近似微分方程：图2　临界状态下的理想压杆　　　　　　　　（1-6）（注意，这里欧拉未经证明，在压弯状态下就使用了纯弯曲状态下的方程式10。下文将证明这个未经证明的“借用”是错误的借用）。由图2得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2-1)代入式（1-6），得：(2-2)令，代入式（2-2），得：(2-3)式（2-3）的通解为：(2-4)

8、式（2-4）取一阶导数，