大学生数学竞赛大纲

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1、1.竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。(一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下:Ⅰ、数学分析部分1.集合与函数2.1.实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.3.2.上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广.4.3.函数、映射、变换概念及其几何意义,

2、隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质.5.极限与连续6.1.数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质).7.2.数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用.8.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次

3、极限的关系.9.4.函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性).10.一元函数微分学11.1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.12.2.微分学基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).13.3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点

4、、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算.14.多元函数微分学1.1.偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式.2.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换.3.3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线).4.4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法.5.一元函数积分学6.1.原函

5、数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:型,型.7.2.定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类.8.3.定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.9.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.10.5.微元法、几何应用(平面图形面积、

6、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用.11.多元函数积分学12.1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).13.2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换).14.3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等).15.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.16.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.17.6.第二型曲线积分概念、性质

7、、计算;Green公式,平面曲线积分与路径无关的条件.18.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、Stoke公式,两类线积分、两类面积分之间的关系.19.无穷级数20.1.数项级数级数及其敛散性,级数的和,Cauchy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式;交错级数的Leibniz判别法;一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.1.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法(M-判别法、Abel

8、判别法、Dirichle

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