求极限的几种方法__相关论

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1、高数论文--------求极限的几种方法教师：张忠诚班级：土木15-04班学号：1501160412姓名：林一军总结本学期高等数学中学习的极限，下面总结几点求极限的方法(1)数列的极限：数列极限的定义1：对数列an，若存在常数a，对任意ε>0，若存在N∈N+，对任意自然数n>N,都有an-a<ϵ，则称a为数列an当n趋于无穷大的极限。记为：limn→∞an=a，若an存在极限，则称an收敛，不存在极限则称an发散在数列的学习中我们还学了，发散，收敛，连续等知识点收敛数列的性质：1.唯一性2.有界性3.保号性(这三个性质与数列极限的性质有点关系，详细解说在下面会说明。)数列的收敛鉴别

2、方法：1.夹逼定理：一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：（1）当n>No时，其中No∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，（2）当n→+∞，limYn=a；当n→+∞，limZn=a，那么，数列{Xn}的极限存在，且当n→+∞，limXn=a。证明因为limYn=alimZn=a所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1，N2，当n>N1时，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε，∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε

3、a-εB,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。夹逼定理的应用：1.设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均

4、为：a.若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限2．单调有界性原理：单调有界数列必有极限，这里说的单调有界，对于单调递增数列有界是指由上界，对单调递减数列有界是只有下界。【单调有界定理】若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。【运用范围】（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；（2）数列从某一项开始单调有界的结论依然成立，这是因为改变数列有限项不改变

5、数列的极限。【证明】证:不妨设{}为有上界的递增数列。由确界原理，数列{}有上确界，记为a={an}.下面证明a就是{}的极限。事实上，任给>0,按上确界的定义，存在数列{}中的某一项，使得,又由{}的递增性，当n>=N时有.另一方面，由于a是{}的一个上界，故对一切都有.所以当时有.这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限。且其极限即为它的下界。3.柯西收敛准则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样正整数N，使得当m>N,n>N时就有

6、Xn-Xm

7、<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn

8、}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。(1)函数的极限：1.x→∞时函数f(x)的极限：1.定义：设函数f(x)在（a，+∞）内有定义，A为常数，若∀ε>0，∃X>0（a>0）∀x>X，有fx-A<ε，则称常数A为fx当x→+∞时的极限。记为：limn→+∞fx=A或f（x）→A（x→+∞）2.设函数f（x）在区间（-∞，a）有定义，A为常数.若∀ε>0，∃X>0（-Xa（>0）时有定义，A为常数。若∀ε>0，∃

9、X>0（x>0）∀x>X，则有fx-A<ε则称常数A为f（x）当x→∞时的极限。记为：limn→∞fx=A或f（x）→A（x→∞）.洛必达法则：0/0型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴；⑵在点的某去心领域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞或），则∞/∞型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴；⑵在点a的某去心领域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为或），则其他类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。(1)型可将乘