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1、高数论文--------求极限的几种方法教师:张忠诚班级:土木15-04班学号:1501160412姓名:林一军总结本学期高等数学中学习的极限,下面总结几点求极限的方法(1)数列的极限:数列极限的定义1:对数列an,若存在常数a,对任意ε>0,若存在N∈N+,对任意自然数n>N,都有an-a<ϵ,则称a为数列an当n趋于无穷大的极限。记为:limn→∞an=a,若an存在极限,则称an收敛,不存在极限则称an发散在数列的学习中我们还学了,发散,收敛,连续等知识点收敛数列的性质:1.唯一性2.有界性3.保号性(这三个性质与数列极限的性质有点关系,详细解说在下面会说明。)数列的收敛鉴别
2、方法:1.夹逼定理:一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件:(1)当n>No时,其中No∈N*,有Yn≤Xn≤Zn,(2)当n→+∞,limYn=a;当n→+∞,limZn=a,那么,数列{Xn}的极限存在,且当n→+∞,limXn=a。证明因为limYn=alimZn=a所以根据数列极限的定义,对于任意给定的正数ε,存在正整数N1,N2,当n>N1时,有〡Yn-a∣﹤ε,当n>N2时,有∣Zn-a∣﹤ε,现在取N=max{No,N1,N2},则当n>N时,∣Yn-a∣<ε,∣Zn-a∣<ε同时成立,且Yn≤Xn≤Zn,即a-ε3、a-εB,函数B>C,函数A的极限是X,函数C的极限也是X,那么函数B的极限就一定是X,这个就是夹逼定理。夹逼定理的应用:1.设{Xn},{Zn}为收敛数列,且:当n趋于无穷大时,数列{Xn},{Zn}的极限均4、为:a.若存在N,使得当n>N时,都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛,且极限为a.2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限,间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限2.单调有界性原理:单调有界数列必有极限,这里说的单调有界,对于单调递增数列有界是指由上界,对单调递减数列有界是只有下界。【单调有界定理】若数列{an}递增(递减)有上界(下界),则数列{an}收敛,即单调有界数列必有极限。【运用范围】(1)单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性,如何求极限需用其他方法;(2)数列从某一项开始单调有界的结论依然成立,这是因为改变数列有限项不改变5、数列的极限。【证明】证:不妨设{}为有上界的递增数列。由确界原理,数列{}有上确界,记为a={an}.下面证明a就是{}的极限。事实上,任给>0,按上确界的定义,存在数列{}中的某一项,使得,又由{}的递增性,当n>=N时有.另一方面,由于a是{}的一个上界,故对一切都有.所以当时有.这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限。且其极限即为它的下界。3.柯西收敛准则:柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理,给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,存在着这样正整数N,使得当m>N,n>N时就有6、Xn-Xm7、<ε这个准则的几何意义表示,数列{Xn8、}收敛的充分必要条件是:该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。(1)函数的极限:1.x→∞时函数f(x)的极限:1.定义:设函数f(x)在(a,+∞)内有定义,A为常数,若∀ε>0,∃X>0(a>0)∀x>X,有fx-A<ε,则称常数A为fx当x→+∞时的极限。记为:limn→+∞fx=A或f(x)→A(x→+∞)2.设函数f(x)在区间(-∞,a)有定义,A为常数.若∀ε>0,∃X>0(-Xa(>0)时有定义,A为常数。若∀ε>0,∃9、X>0(x>0)∀x>X,则有fx-A<ε则称常数A为f(x)当x→∞时的极限。记为:limn→∞fx=A或f(x)→A(x→∞).洛必达法则:0/0型不定式极限若函数和满足下列条件:⑴;⑵在点的某去心领域内两者都可导,且;⑶(可为实数,也可为±∞或),则∞/∞型不定式极限若函数和满足下列条件:⑴;⑵在点a的某去心领域内两者都可导,且;⑶(可为实数,也可为或),则其他类型不定式极限不定式极限还有,,,,等类型。经过简单变换,它们一般均可化为型或型的极限。(1)型可将乘
3、a-εB,函数B>C,函数A的极限是X,函数C的极限也是X,那么函数B的极限就一定是X,这个就是夹逼定理。夹逼定理的应用:1.设{Xn},{Zn}为收敛数列,且:当n趋于无穷大时,数列{Xn},{Zn}的极限均
4、为:a.若存在N,使得当n>N时,都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛,且极限为a.2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限,间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限2.单调有界性原理:单调有界数列必有极限,这里说的单调有界,对于单调递增数列有界是指由上界,对单调递减数列有界是只有下界。【单调有界定理】若数列{an}递增(递减)有上界(下界),则数列{an}收敛,即单调有界数列必有极限。【运用范围】(1)单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性,如何求极限需用其他方法;(2)数列从某一项开始单调有界的结论依然成立,这是因为改变数列有限项不改变
5、数列的极限。【证明】证:不妨设{}为有上界的递增数列。由确界原理,数列{}有上确界,记为a={an}.下面证明a就是{}的极限。事实上,任给>0,按上确界的定义,存在数列{}中的某一项,使得,又由{}的递增性,当n>=N时有.另一方面,由于a是{}的一个上界,故对一切都有.所以当时有.这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限。且其极限即为它的下界。3.柯西收敛准则:柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理,给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,存在着这样正整数N,使得当m>N,n>N时就有
6、Xn-Xm
7、<ε这个准则的几何意义表示,数列{Xn
8、}收敛的充分必要条件是:该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。(1)函数的极限:1.x→∞时函数f(x)的极限:1.定义:设函数f(x)在(a,+∞)内有定义,A为常数,若∀ε>0,∃X>0(a>0)∀x>X,有fx-A<ε,则称常数A为fx当x→+∞时的极限。记为:limn→+∞fx=A或f(x)→A(x→+∞)2.设函数f(x)在区间(-∞,a)有定义,A为常数.若∀ε>0,∃X>0(-Xa(>0)时有定义,A为常数。若∀ε>0,∃
9、X>0(x>0)∀x>X,则有fx-A<ε则称常数A为f(x)当x→∞时的极限。记为:limn→∞fx=A或f(x)→A(x→∞).洛必达法则:0/0型不定式极限若函数和满足下列条件:⑴;⑵在点的某去心领域内两者都可导,且;⑶(可为实数,也可为±∞或),则∞/∞型不定式极限若函数和满足下列条件:⑴;⑵在点a的某去心领域内两者都可导,且;⑶(可为实数,也可为或),则其他类型不定式极限不定式极限还有,,,,等类型。经过简单变换,它们一般均可化为型或型的极限。(1)型可将乘
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