2014届高三数学一轮复习 第15讲 导数在函数中的应用对点训练 理

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1、1.(2012·广东韶关市调研)函数y＝xex的最小值是(C)A．－1B．－eC．－D．不存在解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，则x＝－1.当x＜－1时，y′<0；当x＞－1时，y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－，故选C.　2.(2012·安徽省“江南十校”3月联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是(C)A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：观察函数f(

2、x)的特征图象可知函数f(x)在区间(－∞，c]上单调递增，由于a＜b＜c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.　3.(2012·山东省潍坊市三县10月联考)函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(D)A．2B．3C．4D．5解析：因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，且f(x)在x＝－3时取得极值，所以f′(－3)＝3×9＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5，故选D.　4.(2012·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)

3、的单调减区间为　(－2，－1)　.解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex(x∈R)，令f′(x)<0，则x2＋3x＋2<0，解得－2

4、，1]∪[2,3)．　6.(2012·山西省六所名校第一次质检)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)

5、＋a2－1＝(x＋a－1)(x＋a＋1)，且a≠0，所以导函数f′(x)的图象开口向上，且对称轴不是y轴，因此其图象就为第三个，所以由f′(x)的图象与x轴的交点为原点与y轴右侧的点可得a＝－1，所以f(－1)＝－－1＋1＝－.　8.(2012·泉州四校二次联考)设f(x)＝，其中a为正实数．(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为[，]上的单调函数，求a的取值范围．解析：因为f′(x)＝.(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.当x变化时，f′(x)，

6、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，)(，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增由表可知，x1＝是极大值点，x2＝是极小值点．(2)记g(x)＝ax2－2ax＋1，则g(x)＝a(x－1)2＋1－a.因为f(x)为[，]上的单调函数，则f′(x)在[，]上不变号．因为>0，所以g(x)≥0或g(x)≤0在x∈[，]上恒成立，由g(1)≥0或g()≤0，得0

7、ln(x－1)(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的最值；(2)求函数f(x)的单调区间．解析：(1)函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)的定义域是(1，＋∞)．当a＝1时，f′(x)＝2x－1－＝，所以f(x)在(1，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f()＝＋ln2.(2)f′(x)＝2x－a－＝，若a≤0时，则≤1，f(x)＝>0在(1，＋∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1，＋∞)．若a>0，则>1，故当x∈(1，]，f′(x)＝≤0，当x∈

8、[，＋∞)时，f(x)＝≥0，所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，)，f(x)的增区间为[，＋∞)．