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1、数学应用软件大型实验实验报告实验序号：B56日期：2013年7月3日班级数学1101姓名姜永成学号201110790106实验名称编写抛物线法求定积分近似值的程序问题背景描述：利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确地计算出定积分的值；但它仅仅适用用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情况，如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法，在很多的定积分应用过程中，大多被积函数没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去求解相应的定积分。实验目的：本实验只要研究定积分的一种近似计算算法：抛物线法，并了解如何控制精确
2、度,然后对积分具体计算。实验原理与数学模型：由梯形法求近似值时，当为曲线时，它就偏小，当y=f(x)是为曲线时，它就偏大，若每部分改用与性相接近的抛物线来近似时，就可以减少上述缺点，这就是抛物线法。当把区间作2n等分，分点依次为；对应函数值为；曲线上相应点为：现把区间上的曲线y=f(x)用通过三点的抛物线；来近似替代，然后求函数从到的定积分；同样也有：………………………………将这n个积分相加即得原来要求计算的定积分的近似值这就是抛物线法，也称为辛普森（simpson）公式。主要内容（要点）：用matlab编写抛物线法求定积分近似值的程序，要求精确到小数点后第k（本
3、题假设k=13），并对积分具体计算。实验所用软件及版本：matlab7.0实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：一：基本步骤：（1）查找相关资料（数值分析，中国知网网站等）来了解什么是抛物线法，抛物线法的原理以及数学模型。（2）在了解抛物线法概念的前提下，开始编写程序（以积分）为例。formatlong%长格式，显示15位有效数字n=10;a=0;b=1;inum=0;symsxfxfx=1/(1+x^2);fori=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;xk=(xi+xj)/2;fxj=subs(fx,'
4、x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinum（3）在编写程序时，遇到了如何来很好得控制精确度的问题。（4）在不断的修改下，最终得到了较好的程序代码。formatlong%长格式，显示15位有效数字n=10;a=0;b=1;inum=0;symsxfxfx=1/(1+x^2);fori=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;xk=(xi+xj)/2;fxj=subs(fx,'x',xj);fx
5、i=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%d',...abs(inum-integrate)/intagrate)实验结果报告与实验总结：（1）程序一的结果：inum=0.78539816324245（2）程序二的结果：inu
6、m=0.78539816324245integrate=1/4*piintegrate=0.78539816339745（3）在程序中可以将n的值改变，变成n=20时，得到如下结果：inum=0.78539816339503integrate=1/4*piintegrate=0.78539816339745现在可以改变n的值，加大精确值。又当n=40时，结果如下：inum=0.78539816339741integrate=1/4*piintegrate=0.78539816339745现在看到刚好精确值到达小数点后第13位，即满足题目要求。实验总结：从中可以发现
7、，程序中随着n的值变大，所求得的定积分与真实值越来越接近，当n的值改变到一定程度，它的值最终不会改变。所以，我们可以控制n的值来控制它的精确度。在编写代码的时候，把fx=1/(1+x^2)错写成了fx=1/1+x^2，导致代码最终运行不了。思考与深入：1.在matlab本身存在一些求数值积分的命令就可以控制精度，如quad,quad1,quad8,现在我们可以来看看quad;先编写m文件，functionf=example11(x)f=1./(1+x.^2);>>z=quad('example11',0,1)z=0.78539814924326我们可以看出它的精确
8、值为1e-
