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《高考第一轮复习数学：13.3函数的极限(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、13.3函数的极限●知识梳理1.函数极限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a.（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f（x）=a.如果从点x=x
2、0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.2.极限的四则运算法则：如果f（x）=a,g（x）=b,那么[f（x）±g（x）]=a±b;[f（x）·g（x）]=a·b;=（b≠0）.特别提示（1）上述法则对x→∞的情况仍成立；（2）[Cf（x）]=Cf（x）（C为常数）;（3）[f（x）]n=[f（x）]n（n∈N*）.●点击双基1.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C2.f（x）=下
3、列结论正确的是A.=f（x）B.=2，不存在C.f（x）=0,不存在D.f（x）≠f（x）答案:D3.函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A4.（2005年西城区抽样测试）=________________.解析:===3.答案:35.若=2,则a=__________.解析:=2,∴=2.∴a=4.答案:4●典例剖析【例1】求下列各极限：（1）（；（2）（－x）；（3）；（4）剖析:若f（x）在x0处连续，则应有f（x）=f（x0）,故求f（x）在连续点x0处的极
4、限时，只需求f（x0）即可；若f（x）在x0处不连续，可通过变形，消去x－x0因式，转化成可直接求f（x0）的式子.解:（1）原式＝＝=－.（2）原式==a+b.（3）因为=1,而==－1，≠,所以不存在．（4）原式=＝（cos+sin）＝.思考讨论数列极限与函数极限的区别与联系是什么？【例2】（1）设f（x）=;（2）f（x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式.解:（1）f（x）=（2x+b）=b,f（x）=（1+2x）=2,当且仅当b=2时,f（x）=f（x）,故b=2时,原极限存在.（2）由于f（x）是多项式,且=1,∴可设f（x）=4x3+x
5、2+ax+b（a、b为待定系数）.又∵=5,即（4x2+x+a+）=5,∴a=5,b=0,即f（x）=4x3+x2+5x.评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】讨论函数f（x）=·x（0≤x＜+∞）的连续性，并作出函数图象.部析:应先求出f（x）的解析式，再判断连续性.解:当0≤x＜1时，f（x）=x=x;当x＞1时，f（x）=·x=·x=－x;当x=1时，f（x）=0.∴f（x）=∵f（x）=（－x）=－1,
6、f（x）=x=1,∴f（x）不存在.∴f（x）在x=1处不连续，f（x）在定义域内的其余点都连续.图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.●闯关训练夯实基础1.已知函数f（x）是偶函数,且f（x）=a,则下列结论一定正确的是A.f(x)=－aB.f（x）=aC.f(x)=
7、a
8、D.f（x）=
9、a
10、解析：∵f（x）是偶函数,∴f（－x）=f（x）.又f（x）=a,f（－x）=a,f（x）=f（－x）,∴f（－x）=f（x）=a.答案：B2.（2004年全国Ⅱ，理2）等于A.B.1C.D.解析:∵=.答案:A
11、3.已知函数y=f（x）在点x=x0处存在极限,且f（x）=a2－2,f（x）=2a+1,则函数y=f（x）在点x=x0处的极限是____________.解析:∵y=f（x）在x=x0处存在极限,∴f（x）=f（x）,即a2－2=2a+1.∴a=－1或a=3.∴f（x）=2a+1=－1或7.答案:－1或74.若f（x）=在点x=0处连续，则f（0）=__________________.解析:∵f（x）在点x=0处连续，∴f（0）=f（x）,f（x）===.答案:5.已知函数f（x）=，试求:（1）f（x）的定义域，并画出图象；（2）求f（x）、f（x）,
12、并指出f（x）是否存在.解:（1）当
13、x
14、＞2时，=
