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1、第四章不定积分教学目的与要求1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。3．求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一。4.1不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念定义1如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有或，那末函数就称为（或）在区间上的原函数。例如，x^2是2x的原函数，lnx是1/x的原函数
2、因，，故是的原函数。注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数2．那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I上连续，则f(x)在I上一定有原函数。21第-–页注意：并不是任意在I上有定义的函数都有原函数，反例定理2：设f(x)在区间I上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则1．f(x)的任意两个原函数相差一个常数2．F(x)+C也是f(x)的原函数定义2在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作。其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。由此定义及前面的说明可知，如果是在区间
3、上的一个原函数，那么就是的不定积分，即。因而不定积分可以表示的任意一个原函数。第一，如果有，那么，对任意常数C，显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。第二，当为任意常数时，表达式21第-–页就可以表示的任意一个原函数。也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族。例1求.解由于=，所以是的一个原函数。因此.例2求.解当时,由于=,所以是在内的一个原函数。因此，在内，当时，由于==，由上同理，在内，21第-–页将结果合并起来，可写作例3、已知是的一个原函数，求：解：例4、的导函数是，则的原函数，(、为任意常数)例5、在下列等式中，正确的结果是CA、B、C、D、二基本积分表由于积分
4、是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。见课本积分表。三不定积分的性质21第-–页根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即.注意：差的积分等于积分的差性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(是常数,).例1求.解=====例2．21第-–页例3例44.2两类换元法及举例利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法.把复合函数的微分法反过来求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元积分法,简称换元法.换元法通常分成两
5、类.一．第一类换元法设f(u)具有原函数F(u)，即和令u=φ(x)，其中φ(x)是可导的，则F(u)=F(φ(x))显然是复合函数，又由于：这说明，则定理1设f(u)具有原函数F(u),u=φ(x)可导,则有换元公式:21第-–页注意：1不是的原函数！2F(u)是f(u)的原函数是针对积分变量u而言的，是的原函数是针对积分变量x而言的。3运用第一类积分换元法关键在于设法将被积函数凑成的形式，在令变成不定积分进行计算，最后用进行回代。4在下，，例1求∫2cos2xdx.解作变换u=2x,便有∫2cos2xdx=∫cos2x·2dx=∫cos2x·(2x)'dx=∫cosudu=sinu
6、+C,再以u=2x代入,即得∫2cos2xdx=sin2x+C.例2求∫tanxdx.解∫tanxdx=∫sinx/cosxdx.因为-sinxdx=dcosx,所以如果设u=cosx,那么du=-sinxdx,即-du=sinxdx,因此.21第-–页类似地可得∫cotxdx=ln
7、sinx
8、+C.在对变量代换比较熟练以后,就不一定写出中间变量u.例3求∫ch(x/a)dx.解.例4求(a>0).解.下面的一些求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式.例5求∫sin3xdx.解∫sin3xdx=∫sin2xsinxdx=-∫(1-c
9、os2x)d(cosx)=-∫d(cosx)+∫cos2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos3x+C.例6求∫cos2xdx.解.21第-–页附加：1、2、3、4、5、6、利用定理1来求不定积分,一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难,因为其中需要一定的技巧,而且如何适当的选择变量代换u=φ(x)没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除了熟悉一些典型的例子外,还要做较多的练习才行.二 第二类换元法第二类换元法从形式上看与第
