高三数学 第13周 空间向量在立体几何中的应用（一）学案

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1、山东省乐陵市第一中学2015届高三数学第13周空间向量在立体几何中的应用（一）学案【学习目标】1.理解直线的方向向量及平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).【重点难点】能用向量方法研究立体几何问题中的应用．【知识梳理】1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则

2、向量n叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0【自我检测】1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行(　　)(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行(　　)(3)两直

3、线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角(　　)(4)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角(　　)2．(人教B版教材习题改编)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　)A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．63．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交4．(2014·聊城模拟)平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)A.B.C.D.5．(

4、2012·陕西高考)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A.B.C.D.【合作探究】考向1　利用空间向量证明平行、垂直【例1】　(14·青岛一模)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.考向2　利用空间向量求线线角和线面角【例2】　

5、(2013·湖南高考)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．变式训练2如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【达标检测】1．已知平面α，β的法向量分别为u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1，4)则(　　)A

6、．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上都不正确2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.3．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)A．(1,1,1)B.C.D.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)A.B.C.D.5．如图所示，正三棱柱ABC—A1B1

7、C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)A.B.C.D.6．在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，则异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为________．7．(2014·德州一模)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．8．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．9．(13·天津

8、)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．