高等数学教案word版(同济)第二章

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1、第一讲I授课题目:§2.1导数概念II教学目的与要求:1.理解导数的概念，理解导数的几何意义；2.会用导数描述一些物理量；3.会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。III教学重点与难点:重点：导数的概念难点：用导数的定义判断函数的可导性IV讲授内容:微分学是微积分的重要组成部分，它的基概念是导数与微分。主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。先讨论导数的概念，而导数的概念的形成与直线运动的速度，切线问题有密切的关系。一、直线运动的速度，切线问题1．直线运动的速度先建立坐标系：设某点沿直线

2、运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻在直线上的位置的坐标为（简称位置），运动完全由位置函数所确定。位置函数：（1）从时刻到一个时间间隔，有平均速度为：（2）时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻的速度，但动点在时刻的速度的精确概念还得让，即：（3）极限值叫做动点在时刻的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法。2．切线斜率问题建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点的切线的斜率为：αφNT

3、xoNMy图2-1（4）割线斜率的极限就是切线的斜率二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数讨论知，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归为一数学形式：（5）此处的和的分别是函数的自变量的增量和函数的增量式（5）写成：（6）由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。2.导数的定义定义1设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即（7）函数在点处可导有时也说成在

4、点具有导数或导数存在。导数的定义也可取不同的形式，常见的有：（8）（9）在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。3.函数在一点处不可导的定义定义2如果式（7）的极限不存在，就说函数在点处不可导，如果，当时，比值时，就说函数在点处的导数为无穷大（此时函数不可导）。4.导函数的定义定义3如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在开区间内可导。对任意都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做函

5、数的导函数，记作：（10）式（7）、式（8）得（11）导函数简称导数，而是在处的导数或导数在点处的值。5.求函数的导数举例例1求函数在处的导数解将换成得即幂函数的导数公式例2求函数的导数解正弦函数的导数是余弦函数。例3求函数在处的导数解所以不存在即函数在处不可导6.单侧导数根据函数在点处的导数的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。函数在点处的左、右极限得左、右导数的定义左导数的定义右导数的定义函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。函数在开区间的内

6、可导，及的都存在，就说在闭区间上可导。三、导数的几何意义切线问题的讨论知，函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即：注：1.如果，则曲线在点处有垂直于轴的切线；2.如果，则曲线在点处有平行于轴的切线。曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法线方程为例4求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。解根据导数的几何意义，得切线的斜率为切线方程为法线的斜率为法线方程为V小结与提问：小结：1.给出了函数在一点处的导数的定义以及函数的导函数的定义；2.函数在一点处的左右导数的定

7、义；3.给出函数的导数的几何意义.提问：怎么样用导数的定义求函数在一点的导数？VI课外作业：P85-P861，5，7（3）（6），11