2013年高考数学一轮复习 第七篇 不等式 第4讲　基本不等式教案 理 新人教版

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1、第4讲　基本不等式【2013年高考会这样考】1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．【复习指导】1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．基础梳理1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)≥2(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术

2、平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b＞0)逆用就是ab≤2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号

3、)；(2)≥≥≥(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为(　　)．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(

4、2，＋∞)解析　∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．答案　C2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是(　　)．A．0B．1C．2D．3解析　①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.答案　B3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　)．A.B．1C．2D．4解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.答案　A4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)．A．1＋B．1＋C．3D．4解析　当x＞2时，x－2＞0，f(x

5、)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案　C5．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．解析　∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．答案　－2　　考向一　利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．[审题视点]第(1)问把＋中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不

6、等式．解析　(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．(2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案　(1)3＋2　(2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．解析　(1)∵x＞1，∴f(x)＝

7、(x－1)＋＋1≥2＋1＝3　当且仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2×＝18，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案　(1)3　(2)　(3)18考向二　利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a＞0，