习题81反常积分的概念和计算

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1、第八章反常积分习题8.1反常积分的概念和计算∞xq图8.1.4⒈物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。一个带电量的点电荷产生的电场对距离处的单位正电荷的电场力为（为常数），求距电场中心处的电位。解。⒉证明：若和收敛，为常数，则也收敛，且。证设，，则。⒊计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;274⑺;⑻;⑼；⑽。解（1），所以。（2），所以。（3）。（4）当时，；当时，，274此结果等于在时的结果中以代入后的结果。（5）当时积分发散；当时，。（6）当时积分发散；当时，。（7）令，则。（8）令，则。（9）利用

2、第六章第3节习题1(10)的结果，即可得到。（10）,对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换，则，所以。274⒋计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;解（1）。（2）。（3）令，则。（4）令，则。（5）。，由于极限不存在，所以积分发散；同理积分也发散。（6）令，再利用上面习题3（9），得到。274⒌求极限。解,所以。⒍计算下列反常积分：(1);(2)。(3);(4);(5)。解(1)令,再利用例8.1.11，得到。(2)令,由,得到。(3)。(4)令,得到。274(5)。⒎求下列反常积分的Cauchy主值：⑴;⑵;⑶。解(1)。(2)。(3

3、)。⒏说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。证设是一个无界函数反常积分，是的唯一奇点（即在的左领域无界）。令，则，等式右端就是一个无穷区间的反常积分。⒐⑴以为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加性；⑵举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。解（1）保序性：设与收敛，且在成立，则；证明：由定积分的保序性，可知，再令。274区间可加性：设收敛，则对任意，收敛，且；证明：由定积分的区间可加性，可知，再令。（2）设，则与收敛，但不收敛。10.证明当时，只要下式两边的反常积分有意义，就有。证，对上式右端两积分中任意一个（例如第二个）作变量代换，则当时，；且，，于是由，得到。

4、27411．设收敛，且。证明。证用反证法。不妨设，则对，，：，从而。由，可知，与收敛发生矛盾。同理也可证明不可能有，所以。12．设在上可导，且与都收敛，证明。证，由的收敛性,可知存在且有限,再利用第11题的结论，得到。274