高中数学 专题1.4 生活中的优化问题举例教案 新人教a版选修2-2

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1、生活中的优化问题举例【教学目标】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【教法指导】本节学习重点：利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．本节学习难点：导数在解决实际问题中的作用．【教学过程】☆复习引入☆生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一　面积、体积

2、的最值问题思考　如何利用导数解决生活中的优化问题？例1　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解　设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8，x>0.求导数，得S′(x)＝2－.令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为＝＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈

3、(16，＋∞)时，S′(x)>0.因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟　(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1　如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆

4、料场的长和宽分别为________米．答案　32,16探究点二　利润最大问题例2　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π，0

5、，f′(r)＝0.当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6cm时，利润最大．反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)

6、利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

7、－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三　费用(用材)最省问题例3　已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静

8、水中的速度为vkm/h(8