九年级数学下册 2.4.1 二次函数的应用教案1 （新版）北师大版

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1、课题：2.4.1二次函数的应用教学目标：1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．3.积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值，从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．教学重点与难点：重点：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．难点：利用数学方法解决实际问题的经验

2、，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．教学过程：一、创设情境，引出问题如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．（1）设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？处理方式：以问题串的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正．（1）要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得

3、即．所以AD＝BC＝(40－x)．（2）要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．要求学生讨论写出步骤．（1）∵BC∥AD，∴△EBC∽△EAF．∴．又AB＝x，BE＝40－x，∴．∴BC＝(40－x)．∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．（2）y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x＝－（x2－40x＋400－400）＝－（x2－40x＋400）＋300＝－（x－20）2＋300．当x＝20时，y最大＝300．即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．设计意图：通过师生

4、分析交流，让学生经历用含x的代数式表示矩形的另一边，变三个变量为两个变量，为建立二次函数模型做好铺垫，也让学生体会数形结合时表示线段的重要意义．此问是解决整个实际问题的关键之处，也是难点所在，让学生在充分交流的基础上，回忆起运用三角形相似解决问题．二、尝试成功，探究创新活动内容：如果我们将这个问题再进行变式：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．（1）设矩形的一边BC=xm，那么AB边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值，y的最大值是多少?处理方式：以问题串的形

5、式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正设计意图：有了前面两题作基础，这个问题可以留给学生课下自己解决，作为练习．解决问题的基本思路一样，只是用到了对应高之比等于相似比，这是此题的难点，本题既加深了旧知的复习应用，又在比较中总结表示线段的多种方法，让学生体会到类比解题，又在同中找异．三、例题讲解，学以致用窗户是一幢建筑最重要的标志之一，我们每个人的家里都有窗户，我们小时候还经常爬在窗户前数星星，下面我们来看一个和窗户有关的问题：某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下

6、半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？处理方式：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．解：∵7x＋4y＋π

7、x＝15，∴y＝．设窗户的面积是S(m2)，则S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x＝－3.5(x2－x)＝－3.5(x－)2＋．∴当x＝≈1.07时，S最大＝≈4.02．即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．设计意图：把数学问题变式到实际生活问题，让学生运用数学知识到日常生活中，体会用数学的过程，由矩形面积变式到复合型面积，拓展了思维，以不变应万变，通过本题的训练让学生进一步体会利用二次函数解决最大面积问题的方法、过程．四、巩固提升展示自我活动内容：1．用6米长的木料做成

8、“目”字形的框架，设框架的宽为x米，框架的面积为S平方米，当x=米时，S最大？S最大=平方米．BADCGEFH2．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，设EB=BF=G