(春)八年级数学下册《17.2.3一元二次方程的解法-因式分解法》学案（无答案）（新版）沪科版

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1、《17.2.3一元二次方程的解法-因式分解法》学习目标1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．主体知识归纳1．因式分解法：若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x2－9＝0，这个方程可变形为（x＋3）（x－3）＝0，要（x＋3）（x－3）等于0，必须并且只需（x＋3）等于0或（x－3）等于0，因此，解方程（x＋3）（x－3）＝0就相当于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．

2、因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A·B＝0A＝0或B＝0基础知识讲解1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一

3、般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．例题精讲例1：用因式分解法解下列方程：（1）y2＋7y＋6＝0；（2）t（2t－1）＝3（2t－1）；（3）（2x－1）（x－1）＝1．解：（1）方程可变形为（y＋1）（y＋6）＝0，y＋1＝0或y＋6＝0，∴y1＝－1，y2＝－6．（2）方程可变形为t（2t－1）－3（2t－1）＝0，（2t－1）（t－3）＝0，2t－1＝0或t－3＝0，∴t1＝，t2＝3．（3）方程可变形为2x2－3x＝0．x（2x－3）＝0，x＝0或2x－3＝0．∴x1＝0，x2＝．说

4、明：（1）在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．（2）应用因式分解法解形如（x－a）（x－b）＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如（x－e）（x－f）＝0的形式，这时才有x1＝e，x2＝f，否则会产生错误，如（3）可能产生如下的错解：原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．（3）在方程（2）中，为什么方程两边不能

5、同除以（2t－1），请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程：（1）（1－x）2＝；（2）x2－6x－19＝0；（3）3x2＝4x＋1；（4）y2－15＝2y；（5）5x（x－3）－（x－3）（x＋1）＝0；（6）4（3x＋1）2＝25（x－2）2．剖析：方程（1）用直接开平方法，方程（2）用配方法，方程（3）用公式法，方程（4）化成一般式后用因式分解法，而方程（5）、（6）不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：（1）（1－x）2＝，（x－1）2＝3，x－1＝±，∴x1＝1＋，x2＝1－．（2）移项，得x2－6x＝19，配方，得x

6、2－6x＋（－3）2＝19＋（－3）2，（x－3）2＝28，x－3＝±2，∴x1＝3＋2，x2＝3－2．（3）移项，得3x2－4x－1＝0，∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝，∴x1＝，x2＝．（4）移项，得y2－2y－15＝0，把方程左边因式分解，得（y－5）（y＋3）＝0；∴y－5＝0或y＋3＝0，∴y1＝5，y2＝－3．（5）将方程左边因式分解，得（x－3）［5x－（x＋1）］＝0，（x－3）（4x－1）＝0，∴x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3，x2＝．（6）移项，得4（3x＋1）2－25（x－2）2＝0，［2（3x＋1）］2－

7、［5（x－2）］2＝0，［2（3x＋1）＋5（x－2）］·［2（3x＋1）－5（x－2）］＝0，（11x－8）（x＋12）＝0，∴11x－8＝0或x＋12＝0，∴x1＝，x2＝－12．说明：（1）对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．（2）直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3：解关于x的方程：（a2－b2）x2－4abx＝a2－b2．解：（1）当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝0．当a＝b＝0时，x为任意实数．当｜a｜＝｜b

8、｜≠0时，x＝0．（2）当a2－b2≠0，即a＋b≠0且a－b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［（a＋b）x＋（a－b）］［（a－b）x－（a＋b）］＝0，∵a＋b≠0且