高中数学 3.3.2简单的线性规划问题（2）教案 新人教a版必修5

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1、河北省石家庄市第一中学高中数学3.3.2简单的线性规划问题（2）教案新人教A版必修5　　　　　　　　　　　　　　教学目标：1．知识与技能：．2．过程与方法：．3．情感、态度与价值观：．重　点：．难　点：．教学过程：例某工厂一个车间生产某种产品，其成本为每公斤27元，售价为每公斤50元．在生产新产品的同时，每公斤产品产生出0.3立方米的污水，污水有两种排放方式：其一是输送到污水处理厂，经过处理（假设污水处理率为85%）后排入河流；其二是直接排入河流．若污水处理厂每小时最大处理能力是0.9立方米污水，处理成本是每立方米

2、污水5元；环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方米污水17.6元，根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流中的污水是立方0.225米．试问：该车间应选择怎样的生产与排污方案使其净收益最大．解：设该车间净收入为每小时元，生产的产品为每小时公斤，直接排入河流的污水量为每小时立方米．每小时车间污水产生量为；污水处理厂污水排放量为；经污水处理厂处理后的污水排放量；车间产品成本；车间生产收入；车间应交纳排污费用；车间交纳的污水处理费为．这样车间每小时净收入为：．由于污水处理厂的最大处理能力有：；根据允许排入河流的最大污水量

3、的限制，有，即．输送给污水处理厂的污水量应满足：．综上所述，这个环保问题可归纳为以下的数学模型：．约束条件：下面用图解法来解这个线性规划问题：（１）画出可行域．［例1］某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?分析：将已知数据列成下

4、表：资源消耗量产品甲种棉纱（1吨）乙种棉纱（1吨）资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）600900解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么z=600x+900y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域.作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值.解方程组,得M的坐标为x=≈117，y=≈67.答：应生产甲种棉纱117吨

5、，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大.［例2］要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：规格类型A规格B规格C规格钢管类型甲种钢管214乙种钢管231今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少.解：设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则作出可行域(如图)：目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y=18

6、和直线x+3y=16的交点A()，直线方程为x+y=.由于和都不是整数，所以可行域内的点()不是最优解.经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4，4)，它是最优解.答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根.例3．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3、B药品4、C药品4，乙种烟花每枚含A药品2、B药品5、C药品6。已知每天原料的使用限额为A药品120、B药品100、C药品240。甲烟花每枚可获利2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问

7、每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大。解：设每天应生产甲种烟花枚，乙种烟花枚，获利为元，则作出可行域，如图所示，目标函数为：作直线：将直线想右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点A且与原点的距离最大。此时取最大值。解方程组得答：每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润总额达到最大。［例3］已知直线l的方程为Ax+By+C=0，M1（x1，y1）、M2(x2,y2)为直线l异侧的任意两点，M1、M3(x3,y3)为直线l同侧的任意两点，求证：(1)Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号；(2)

8、Ax1+By1+C与Ax3+By3+C同号.证明：(1)因M1、M2在l异侧，故l必交线段M1M2于点M0.设M0分M1Ｍ2所成的比为λ，则分点M0的坐标为x0＝，y0＝代入l的方程得A()＋B（）＋C＝0，从而得Ax1＋By1＋C＋λ（Ax2＋By2＋C）＝0.解出λ，得λ=∵M0为M1Ｍ2的内分点，故λ＞0.∴Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号.