高三数学总复习 古典概型与几何概型 知识讲解 新人教a版

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1、高考总复习：古典概型与几何概型【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。【知识网络】随机事件的概率古典概型几何概型应用【考点梳理】知识点一、古典概型1.定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。2.古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。3.古典

2、概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数；（2）计算事件A包含的基本事件的个数；（3）应用公式求值。5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。知识点二、几何概型1.定义：事件A理解为区

3、域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。3.几何概型的概率计算公式：随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。要点诠释：用几何概型的概率公式计算

4、概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量.对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.【典型例题】类型一、古典概型【例1】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（1）写出这个试验的基本事件；（2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解：（1）算出基本事件的总个数；（2）计算事件A包含的基本事件的个数；（3）应用公式求值。【解析】（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，

5、正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；（2）基本事件的总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.举一反三：【变式】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【解析】在个小正方体中：一面涂有色彩的有个，两面涂有色彩的有个，三面涂有色彩的有个，所以⑴一面涂有色彩的概率为；⑵两面涂有色彩的

6、概率为；⑶有三面涂有色彩的概率【例2】抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率.【思路点拨】根据条件列举出事件A所包含基本事件个数。【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）

7、x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事

8、件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以P（B）=.【总结升华】在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式【例3】在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.【解析】设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1