积分在物理和几何中的应用

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1、积分在物理和几何中的应用目录摘要……………………………………………………………………2关键字…………………………………………………………………21微积分介绍…………………………………………………………31.1微积分的基本内容……………………………………………32微分在几何问题中的应用…………………………………………52.1一元微分的几何应用…………………………………………52.2多元微分的几何应用…………………………………………73微积分在物理问题中的应用…………………………..8摘要：关键字：积分大学应用物理几何1微积分介绍1.1微积分的基本内容

2、1.1.1一元微分定义：设有函数，若存在常数A，使得对于自变量的改变量，函数的改变量可以表示为：，则称在点处可微，并称为在点处的微分，记为或，即=或=.几何意义：表示曲线在点处的切线上的点的纵坐标相应于的增量。1.1.2多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。定义：设有二元函数，若存在常数A,B使得对于自变量和的改变量和，函数的改变量可以表示为则称函数在点可微，并称为在点处的全微分，记为或，即或.1.1.3定积分定义：设函数在区间上有定义，用分点将区间分成n个小区间，小区间的长度为，记，在每个小区间上任取一点

3、，作乘积和式成为积分和，当（即n无限增大）时积分和的极限如果存在，且此极限与的分法及的取法无关，则称函数在区间上是可积的，并称此极限为函数在区间上的定积分，记作。其中符号“”称为积分符号，称为被积函数，称为积分变量，区间称为积分区间，称为积分下线，称为积分上限。1.1.4二重积分定义：设是定义在平面有界闭区域上的有界函数对区域的任意划分以及任意属于的点，作和式（其中表示的面积）。当时（为的直径），如果不论对怎样划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数在区域上是可积的，并称该常数为函数在区域D上的二重积分，记作，即。其中叫做被积函数，叫做被

4、积表达式，叫做面积元素，和叫做积分变量，叫做积分区域。1.1.5三重积分定义：设是定义在空间有界闭区域上的有界函数。对区域的任意划分以及任意取法，作和式（其中表示的体积）。当（为的直径），如果不论对怎样划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数在区域上是可积的，并称该常数为函数在区域上的三重积分，记为，即。其中叫做被积函数，叫做体积元素,叫做积分变量，叫做积分区域。2微分在几何问题中的应用2.1一元微分的几何应用2.1.1求平面曲线的切线若函数在包含的区间上可导，则曲线在点有切线，切线方程为。例1、写出过点而与曲线相切的直线的方程。解:将曲

5、线方程写成函数形式。设所求直线与曲线相切于点,则直线斜率为。根据直线斜率意义可得。将和代入上式得到关于u的方程。整理后得二次方程，解得或，即切点可能是或；所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出整理后分别为：和如图一图一2.1.2求参数方程曲线的切线设曲线由下列参数方程表示，，函数和都在区间上可导，则对于任意，当时，对应的上的点处有切线，其方程为。这里。也就是说，是曲线在处切线的方向向量。例2、设曲线的参数方程为，求曲线上对应于的点处的切线方程.解：计算得故曲线上对应于处的切线的方向向量为结合，可得点处的切线方程为，整理得2.2多元微分的

6、几何应用2.2.1空间曲线的切线与法平面设曲线的参数方程为，并假设参数方程中三个函数的导数均存在，且在的某一个确定值处，三个导数不同时为零。设取参数时，对应曲线上的点为则有直线的两点式得割线方程为。向量为割线的方向向量，向量同样是割线的方向向量，所以割线方程可表示为。当时，点沿曲线趋于点,因为不同时为零，所以非零向量为曲线在点处的切线方向向量，切线的方程为。向量又称为曲线在点处的切向量，显然向量s又是曲线上的点处的法平面的法向量，所以曲线在点处的法平面方程为。例3、求柱面螺旋线在处的切线方程与法平面方程。解：因为，，。故当时，对应点为所以在点处的切

7、线方程为法平面方程为，或。例4、求曲线在点（1,1,1）处切线方程。解：对方程两边同时对自变量求导数并移项，得的条件下，由克拉默法则，得，，所以，。所以曲线在点（1,1,1）处的切向量为，故曲线在点（1,1,1）处的切线方程为，即。2.2.2曲面的切平面与法线设曲面的方程为，曲面上一点，设函数在点处具有连续的偏导数（即在点处连续），且不同时为零（不全为零）。设曲面上过点的任意一条曲线的参数方程为，设时，对应于曲面上的点，且存在但不完全为零。向量垂直于曲面上过点的任意曲线在该点处的切线。这就是说，过点M0的的所有曲面曲线在点处的切线都在过点且垂直于向

8、量的平面上，所以平面为曲面在点处的切平面，向量即为切平面的法向量。曲面在点处的切平面方程为。又因为曲面在点处的的法向量，所