济南大学高等数学c(一)4不定积分-疑难解答

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1、第五章不定积分例1求分析被积函数可以分裂成2项，然后积分即得。我们称之为裂项法。解原式例2求解原式=例3求解原式1.第一类换元法（1）凑微分法：即根据需要把一种微分形式恒等变形成另一种微分形式下面是几种常用的变形：（其中都是常数）（2）第一类换元法的基本思想为：较难（不熟悉）的积分先通过凑微分法，在经过变量代换，把它转化成较易计算（我们所熟悉）的积分例4求解法1原式解法2原式=例5求分析先凑微分然后用积分公式即得。解例6求解例7求分析根据被积函数的特点，凑2次微分即得解例8求解原式例9求分析根据被积函数的特点，多次凑微

2、分即得解法1原式解法2（先用到代换）令则原式例10求例11求解2第二类换元法（1）三角函数代换法，令或，令，令例12求分析被积函数中含有，可以用三角函数代换去掉解令则例13求解令，，则（1）简单无理式代换法(称为简单无理式，),令例14求分析被积函数中含有简单无理式，作简单无理式代换即可去掉括号。解令，则例15求解令，则（1）倒代换法（即令）例16求分析被积函数的分母含有的高次方幂，施行倒代换以降低分母的次幂，简化积分解令，则原式三、分部积分法分部积分法主要用于解决两类不同函数乘积的积分，基本思想是根据分布积分公式把较

3、难（不熟悉）的积分转化成较易（熟悉）计算的积分运用分部积分法的几种常见类型为：（其中为多项式）1.降次型.或形式的积分，选取，余下的部分凑成某个函数的微分，再用分部积分公式例17求解原式例18求解原式2.转换型.形式的积分，分别选取余下的部分凑成某个函数的积分，再用分部积分公式例19求解例20求解原式例21设的原函数为，求解由题意知，故3.方程型.所谓方程型是指所求积分通过变形得到一个关于此积分的方程，然后通过解方程得到此积分的方法。形式的二级分可用方程型方法求解，要用两次分部积分法，每次的选取可任意，但两次所选的函数

4、类型应一致例22求解其中故则例23求解故1.递推型，通过变形建立所求积分的递推公式2.例24求解即注意：运用积分公式计算积分是关键是的选取，有一点是肯定的，即选的函数必须容易求导数，而不容易积分，有时某个积分的计算需要部分积分法、换元法、凑微分法是等联合一起使用。这时就需灵活处理四、综合举例例25设且，求解令，则，故又，故，故例26设，求解又，故，于是例27计算积分解原式例28计算积分解令，则原式III习题选解习题5-1不定积分的概念、性质1.求下列不定积分（4）（12）（13）（14）（15）（16）（18）（20）

5、（21）（22）（23）（24）（26）（27）（28）（29）解（4）（12）（13）（14）（15）（16）（18）（20）（21）（22）（23）（24）（26）（27）(28)见本章例2（29）2.一曲线通过点,且在任一点出的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求曲线的方程解设曲线的方程为。依题意得所以而所以,故该曲线的方程为习题5-2换元积分法1.求下列不定积分（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）

6、（24）（25）（26）（27）（28）（29）（30）（31）（32）（33）（34）（35）（36）（37）（38）（39）（40）（41）（42）解（3）（4）（5）（6）（7）（8）见本章例5（9）（10）（11）（12））（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）见本章例6（22）（23）（24）（25）（26）见本章例7（27）（28）（29）（30）（31）见本章例12（32）解法一解法二（33）见本章例13（34）（35）（36）（37）（38）见本章例15（39）解法1其

7、中从而解法2（40）（41）解法1其中解法2令则所以（42）令，则所以1.用指定的换元法求下列不定积分（1），令（2），令（3），令（4），令，解（1）令，则所以（2）令，则，所以（3）令，则，所以（1）令，则，所以习题5-3分部积分法1求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）见本章例19（10）见本章里17（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）故

8、（18）见本章例222.利用指定的变量代换求下列不定积分（1）令（2）令解（1）（2）习题5-4有理函数的积分1.计算下列积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解（1）（2）得即故（3）其中故,得故（4）令故,得从而（5）令故得(17)其中故（18）当时，，当时，，故（19）故（21）(22)(23)(24)(25