专升本《高等数学二》答案

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1、2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷（A）参考答案及评分标准一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程。本题共有8小题，每小题5分，共40分。）1.若在连续，则1.2.曲线在处的切线方程为.3.设函数，则其导数为.4.＝4.5.设，则.6.曲线与直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周，所得旋转体体积为.7.微分方程的通解为.8.若级数收敛，则的取值范围是.二、选择题：（本题5个小题，每小题4分，共20分.每小题给出的4个选项中，只有一项符合要求.）1．（B）.(A)(B)(C)1(D)不存在2.当时，是比的（）.高阶无穷小等价无穷小同阶无穷小低阶无穷小3

2、.级数为（）.绝对收敛条件收敛发散无法判断4.曲线与直线所围成的图形的面积是（）.5.广义积分为（）.0三、计算题：（计算题必须写出必要的解题过程，只写答案的不给分.本题共10个小题，每小题6分，共60分）.1.计算极限.解：＝（5分）＝（6分）2．计算函数的导数.解1：两边取对数，得（1分）两边求导数（4分）＝（6分）解2：由于，所以（4分）＝（6分）3计算由隐函数确定的函数的微分.解：方程两边关于求导数，把看成的函数.（3分）解得（4分）所以函数的微分（6分）4.判别正项级数的敛散性.解1：由于，所以（3分）已知级数收敛（5分）由比较判别法知级数收敛.（6分）解2：取，＝1（4分）因

3、为级数收敛（5分）所以原级数收敛。（6分）5.计算不定积分解1：＝（4分）＝（6分）解2：设，则，，于是＝（4分）==（5分）=（6分）6.求幂级数的收敛半径与收敛区间.解：当时，（2分）所以当，即时，幂级数收敛；当，即时，幂级数发散，所以幂级数的收敛半径（3分）由于时，级数成为发散。（5分）因此幂级数收敛区间为（6分）7.计算定积分解：由于公式，所以＝（2分）＝＝（3分）＝（5分）＝＝（6分）7.计算微分方程满足初始条件的特解.解：分离变量得（2分）两边积分于是有即（4分）或将初始条件代入得（5分）所求特解是（6分）8.计算函数的二阶导数.解：（3分）（6分）9.将函数展成的幂级数并指

4、出收敛区间.解：因为（1分）根据幂级数展开式，（2分）于是（5分）收敛区间是（6分）四、综合题（本题4个小题，共30分）1.[本题7分]设，证明不等式证明：设，（2分）则在闭区间上满足Lagrange定理条件，于是存在一点，使（3分）即（4分）因为且，所以，（5分）因此,从而.（7分）2．[本题7分]设函数，求在区间上的最大值与最小值.解：由于定积分是一确定的实数，设（1分）对的等式两边积分有于是（2分）由上式解得（3分）令得驻点（4分）当时，恒有，表明在区间内严格增加，（5分）所以是函数在的最小值（6分）是函数在的最大值.（7分）3．3.[本题8分]设，（为实数）试问在什么范围时（1）

5、在点连续；（2）在点可导.解：（1）当时，是时的无穷小量，而是有界变量，（2分）所以当时，（3分）即当时，在点连续。（4分）（2）当时，由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量，得（6分）＝（7分）所以当时，在点可导.（8分）4．[本题8分]若函数，求.解：上式两边关于求导数，（1分）（2分）记，则上式是二阶常系数非齐次微分方程，即（I）的通解是，为任意常数。（3分）由于是的特征方程的单根，所以设是方程（I）的一个特解，于是有与将它们代入方程（I）得（4分）于是方程（I）的通解为，（II）这里为任意常数.从已知条件可求得，，并代入方程（II）（5分）得解得（7分）所求函数（8分