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《k52006年高考第一轮复习数学：13.4函数的连续性及极限的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有仅供参考13.4函数的连续性及极限的应用●知识梳理1.函数的连续性.一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.2.如果f（x）是闭区间［a,b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［a,b］上有最大值和最小值.3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在点x0
2、处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数f［u（x）］在点x0处也连续.特别提示（1）连续必有极限,有极限未必连续.（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的.●点击双基1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A2.f（x）=的不连续点为A.x=0B.x=（k=0,±1,±2,…）C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）D.x
3、=0和x=（k=0,±1,±2,…）解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=.又x=0也不是连续点,故选D答案：D知识就是力量3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是A.①B.②③C.①④D.③④答案：A4.四个函数:①f（x）=;②g（x）=sinx;③f（x）=
4、x
5、;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）答案：②③④●典例剖析【例1】（1）讨论函数f（x）=（2）讨论函数f（x）=在区间［0,3］上的连续性.剖析：（1）需判断f（x）=f（x）=f（0）.（2）需判断
6、f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.解:（1）∵f（x）=－1,f（x）=1,f（x）≠f（x）,∴f（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续.（2）∵f（x）在x=3处无定义,∴f（x）在x=3处不连续.∴f（x）在区间［0,3］上不连续.【例2】设f（x）=当a为何值时,函数f（x）是连续的.解:f（x）=（a+x）=a,f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时,f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,知识就是力量f（x）在（－∞,+∞）内是连续的
7、.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【例3】如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a（a＞0）个单位后,向左转90°,前进ar（0＜r＜1＝个单位,再向左转90°,又前进ar2个单位,…,如此连续下去.（1）若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?（2）若其中的r为变量,且0＜r＜1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极
8、限位置.（2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.解:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（x,y）,则x=a－ar2+ar4－…==,y=ar－ar3+ar5－…=,∴大本营应在点（,）附近去寻找小分队.（2）由消去r得（x－）2+y2=（其中x＞,y＞0）,即行动的最终目的地在以（,0）为圆心,为半径的圆上.●闯关训练夯实基础1.函数f（x）=则有A.f（x）在x=1处不连续B.f（x）在x=2处不连续C.f（x）在x=1和x=2处不连续D.f（x）处处连续解析：f（x）=0,f（x）=1,∴f（x）在x=1处不连续.答案：A2.若
9、f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确知识就是力量解析：有定义不一定连续.答案：C3.已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续A.处处连续B.x=1C.x=0D.x=解析：f（x）=f（x）=f（）.答案：D4.有以下四个命题:①f（x）=在［0,1］上连续;②若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值;③=4;④若f（x）=则f（x）=0.其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上）答案：③5.抛物线y=b（）2、x
10、轴及直线AB:x=a围成
