高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算教案 新人教b版必修1

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1、3.1.1实数指数幂及其运算教学分析　　　　　在初中，学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把整数指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数幂，再推广到无理指数幂，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教

2、学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标　　　　　1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，

3、培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点　　　　　教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排　　　　　2课时第1课时导入新课　　　　　思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定

4、的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题．推进新课　　　　　讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00无意义；a－n＝(a≠0)；a

5、m·an＝am＋n；(am)n＝amn；(an)m＝amn；(ab)n＝anbn.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．实质上①＝a，②＝a，③＝a，④＝a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了，，，，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，＝5，＝7，＝a，＝x.(4)53的四次

6、方根是5，75的三次方根是7，a7的五次方根是a，xm的n次方根是x.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a＞0，那么am的n次方根可表示为＝a，即a＝(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)．①负整数指数幂的意义是怎样规定的？②你能得出负分数指数幂的意义吗？③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定

7、a＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理指数幂呢？讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a－n＝(a≠0，n∈N＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是a－＝＝(a＞0，m、n∈N＋，n＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：

8、有时我们把正分数指数幂写成根式，即＝(a＞0，m、n∈N＋)，正数的正分数指数幂的意义是＝(a＞0，m、n∈N＋，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是＝＝(a＞0，m、n∈N＋，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢？如＝＝－1，＝＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a＞0的条件，比如式子＝

9、a

10、，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时