高中数学 专题1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）教案 新人教a版选修2-2

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1、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【教学目标】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【教法指导】本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．本节学习难点：复合函数的求导法则．【教学过程】☆复习引入☆前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初

2、等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一　导数的运算法则思考1　我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答　利用导数的运算法则．思考2　应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1　求下列函数的导数：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lgx.解　(1)y′＝(x3)′－(

3、2x)′＋3′＝3x2－2.(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.(3)函数y＝3x－lgx是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lgx的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln3，g′(x)＝，利用函数差的求导法则可得(3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln3－.反思与感悟　本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝；(2)f(x)＝2－2

4、sin2.例2　求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tanx；(2)f(x)＝.解　(1)f′(x)＝(x·tanx)′＝()′＝＝＝.(2)∵f(x)＝＝＝1－，∴f′(x)＝(1－)′＝(－)′＝－＝.跟踪训练2　求f(x)＝的导数．解　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.探究点二　导数的应用例2　(1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案　3x－y＋1＝0解析　y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线

5、C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．答案　(－2,15)(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度．解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，∴s′(t)＝－＋2·＋4t，∴s′(3)＝－＋＋12＝，即物体在t＝3s时的瞬时速度为m/s.反思与感悟　本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝y′

6、x＝x0＝f′(x0)；瞬时速度是位移

7、函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′

8、t＝t0.跟踪训练2　(1)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)A．－B.C．－D.答案　B解析　y′＝＝，故y′

9、x＝＝，∴曲线在点M处的切线的斜率为.(2)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．解　由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b，∴f′(0)＝b＝0.由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知即c＝1.综上所述，b＝0，c＝1.探究点三　复合函数的定义思考1　观察函数y＝2xcosx及y＝ln(x＋2)的结构特点

10、，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答　y＝2xcosx是由u＝2x及v＝cosx相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝lnu(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．思考2　对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？思考3　在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答　A⊆B.小结　要特别注意两个函数的积与复合函数的区别