高中数学 3.4《曲线与方程》教学设计 北师大版选修2-1

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1、2.1《曲线与方程》教学设计【教学目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.2.在领会曲线和方程概念的过程中，培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.3.了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法.【导入新课】复习导入复习有关常见的曲线，及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识：1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为，2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是

2、，3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为，4．直线x-y=0上点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）即第一、三象限角平分线含有关系：（1）直线上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0上.新授课阶段1.曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线.例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l，为什么？（1）x－y=0（2）=0（3）x2－y2=0

3、（4）

4、x

5、－y=0解析：方程（1）是表示直线l的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l的方程.（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.（3）中虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2=0的解为坐标的点不全在直线l上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）.点评：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定.判定时必须要同时满

6、足（1）直线l上的点的坐标都是方程的解.（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.例2（1）判断点M1（3，－4），M2（－2，2）是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上.（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x2+y2=25.分析：第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上.第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明.解析：（1）把点M1（3，－4），M2（－2，2）分别代入到方程中，可知前者满足方程，后者不满足.（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P（x，y），

7、结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程.2.求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M

8、P（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点.（查漏除杂）.例3证明与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程是.分析：先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.证明：（1）设M（x0，y0）是轨迹上的任意一点，因为点M与轴的距离为，与轴的距

9、离为，所以即是方程的解.（2）设的坐标是方程的解，那么即，而正是点到轴，轴的距离，因此点到两条坐标轴的距离的积是常数，点是曲线上的点.由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程.例4设A、B两点的坐标是（－1，－1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.解法一：∵，∴所求直线的斜率k=－0.5.又∵线段AB的中点坐标是，即（1，3）.∴线段AB的垂直平分线的方程为.即x+2y－7=0.解法二：设M（x，y）是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则

10、MA

11、=

12、MB

13、.∴∴（Ⅰ）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程的解；（2

14、）设点的坐标是方程（Ⅰ）的解，即∵以上变形过程步步可逆，∴综上所述，线段AB的垂直平分线的方程是.3.求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”.（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，