上海市松江二中2013届高三数学暑期学习诊断性测试【会员独享】

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1、松江二中2012年8月诊断性测试答案高三数学一、填空题：1、已知，则。【】2、方程的解为。【1或3】3、若复数的实部与虚部互为相反数，则等于。【】4、已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边在直线上，则。【】5、在等差数列中，已知，则。【100】6、已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则的值是。【】7、已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的值是。【】8、已知均为正数，且，则的最大值为。【】9、用数学归纳法证明时，当时，其形式是。【】10、已知是中的对边，是的面积，若，，则边长。【或】11、已知是方程的两个虚根，且，则实数

2、的值为。【】12、已知函数若存在且，使得成立，则实数的取值范围是____________。【】13、在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第项：，由此得，两边分别相加，得类比上述方法，请你计算“”，其结果是。【】14、设非空集合满足：当时，有.给出如下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或.其中正确命题的是。【①②③④】二、选择题：15、函数是奇函数的充要条件是（）【B】A.B.C.D.16、无穷等比数列的前项为，则该数列的各项和为（）【B】A.B.C.D.17、设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）【A】A.，B.，C.，D.，18

3、、某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．则可推知函数的零点的个数是（）【A】A.B.C.D.三、解答题：19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。设函数的定义域为，函数的定义域为。⑴求；⑵若，求实数的取值范围。解：⑴，得（6分）⑵，因为，得（3分）因为，所以或（2分），得（1分）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分。已知函数。⑴当时，求函数的单调递减区间；⑵当，且时，的值域为，求的值。解：⑴当时，，（4分），所以函数的单调递减区间是：，（4分

4、）⑵，，，（2分）因为，所以（3分），得到，（1分）21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。如图，建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为千米。某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由。解:(1)在中,令,得.（2分）由条件知.∴,（2分），当且仅当时取等号.（1分）∴炮的最大射程是10千米。（1分）

5、(2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,（2分）即关于的方程有正根.（2分）由得。（2分）此时,(不考虑另一根).（1分）∴当不超过6千米时,炮弹可以击中目标。（1分）22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设为数列的前项的积，即．⑴若，求的值；⑵若数列各项都是正数，且满足，证明数列为等比数列，并求的通项公式；⑶数列共有项，且满足以下条件：①；②等式对恒成立。试问符合条件的数列共有多少个？为什么？解：（1）（4分）（2）当时，，所以，（1分）当时，，又，所以，（1分）则，所以数列为等比数列，（2分），所以

6、（2分）（3），所以或（2分），是方程的一个实根，当数列前项确定后，其前项积确定，由可得到两个，（2分），所以符合条件的数列共有个。（2分）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零.记为所有这样的数表组成的集合.对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，，…，，，，…，中的最小值.（1）对如下数表，求的值；（2）设数表形如求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.解：（1）由题意可知，，，，∴（6分）（2）先用反

7、证法证明：若，则，∴同理可知，∴，由题目所有数和为，即（2分）∴，与题目条件矛盾，∴．（2分）易知当时，存在，∴的最大值为1。（2分）（3）的最大值为.（2分）首先构造满足的：，.经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，.下面证明是最大值.若不然，则存在一个数表，使得.（2分）由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则.另