上海市闸北区2013届高三二模数学（理）试题（含解析）

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1、2013年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）（2013•闸北区二模）设为虚数单位，集合A={1，﹣1，i，﹣i}，集合，则A∩B=　{﹣1，i}　．考点：虚数单位i及其性质；交集及其运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化简集合B，再利用交集即可得到A∩B．解答：解：对于集合B：由i10=i2=﹣1，1﹣i4=1﹣1=0，（1+i）（1﹣i）=1+1=2，=．∴B={﹣1，0，2，i}．∴A∩B

2、={﹣1，i}．故答案为{﹣1，i}．点评：熟练掌握复数的运算法则和交集的运算性质是解题的关键．　2．（6分）（2013•闸北区二模）函数的反函数为　　．考点：反三角函数的运用．专题：三角函数的图像与性质．分析：由原函数的解析式求得x=arcsin（﹣），再把x、y互换，并注明反函数的定义域（即原函数的值域），即可得原函数的反函数．解答：解：∵函数，∴=﹣sinx，y∈（0，1），即﹣=sinx，∴x=arcsin（﹣），故原函数的反函数为，故答案为．点评：本题主要考查求一个函数的反函数的方法，注意反函数的定义域是原函数的值域

3、，属于中档题．　3．（6分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为　﹣6　．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．解答：解：∵（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2项为C3013（2x）0•C4212（﹣x）2+C3112（2x）1•C4113（﹣x）1+C3212（

4、2x）2•C4014（﹣x）0∴所求系数为C30•C42+C31•2•C41（﹣1）+C32•22•C4014=6﹣24+12=﹣6．故答案为：﹣6．点评：此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源．　4．（6分）（2013•闸北区二模）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=　1　．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率

5、与统计．分析：由条件从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是可得到黑球的个数；利用“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的”的对立事件“从袋中任意摸出2个球都不是白球”即可得出；由题意白球的个数随机变量ξ的取值为0，1，2，利用古典概型的概率计算公式和数学期望的计算公式即可得出Eξ．解答：解：∵从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，∴黑球的个数为=4．设白球的个数为x个，则红球的个数为6﹣x．设“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则其对立事件为“从袋中任意摸出2个球都不是白球”，由题意得P（A）=1﹣=1﹣=

6、．解得x=5．可知白球的个数为5个，则红球的个数为1个．由题意白球的个数随机变量ξ的取值为0，1，2．∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．随机变量ξ的分布列见右图∴Eξ==1．故答案为1．点评：正确理解概率的意义、互为对立事件的概率之间的关系、古典概型的概率计算公式和数学期望计算公式是解题的关键．　5．（6分）（2013•闸北区二模）半径为r的球的内接圆柱的最大侧面积为　2πr2　．考点：球内接多面体；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质可得

7、出圆柱的高为h、底面半径为R与球的半径为r的关系，再用h和R表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值即可．解答：解：如图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为R，侧面积为S，则（）2+R2=r2，即h=2．∵S=2πRh=4πR•=4π≤4π=2πr2，取等号时，内接圆柱底面半径为r，高为r．故答案为：2πr2点评：本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题，难度一般．　6．（6分）（2013•闸北区二模）设M（x，y，z）为空间直角坐标系内一点，点M在xOy平面上的射影P的极坐标为（ρ，θ）（极坐标系以O为极点

8、，以x轴为极轴），则我们称三元数组（ρ，θ，z）为点M的柱面坐标．已知M点的柱面坐标为，则直线OM与xOz平面所成的角为　　．考点：柱坐标刻画点的位置；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意：“M点的柱面坐标为，”作出立体图形，如图所示．利用长方体模型进