2014高中数学 一题多变一题多解特训（四）

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1、一题多解和一题多变（四）题型一：一题多解题目：椭圆的焦点是，椭圆上一点P满足，下面结论正确的是———————————————————————（）（A）P点有两个（B）P点有四个（C）P点不一定存在（D）P点一定不存在解法一：以为直径构圆，知：圆的半径，即圆与椭圆不可能有交点。故选D解法二：由题知，而在椭圆中：，不可能成立故选D解法三：由题意知当p点在短轴端点处最大，设，此时为锐角，与题设矛盾。故选D解法四：设，由知，而无解，故选D解法五：设，假设，则，而即：，不可能。故选D解法六：，故不可能。故选D解法七：设由焦半径知：而在椭圆中而>,故不符合

2、题意，故选D解法八.设圆方程为：椭圆方程为：两者联立解方程组得：不可能故圆与椭圆无交点即不可能垂直故选D题型二：一题多变设椭圆过点，且左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足.证明：点总在定直线上.解答：第（1）题易得椭圆方程为（过程略）；主要第（2）题证明如下：ABPQ如图，设，由三角形的相似得：化简得：现设直线（k必存在）代入椭圆方程，得：由韦达定理，得：代入式，化简得：，代入直线方程，得：两式联立，消去，得：，即点在定直线上，得证.变1：设椭圆，当过点（其中）的动直线与椭圆相交于两不同点

3、时，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.变2：设双曲线，过点（其中）的动直线与双曲线相交于两不同点，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）；设直线（注：当k不存在的情况需另行证明，这里略），两式联立，消去，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：，即现韦达定理代入式，化简得：，化简得：点在直线上，得证.变3：设抛物线，当过点（其中）的动直线与抛物线相交于两不同点，在线段上取点，满足

4、证明：点在定直线上.证明：设直线，代入抛物线方程，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：，即：现韦达定理代入式，化简得：，化简得：点在直线上，得证.练一小手：设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，定点，求证：三点共线.证明：设，（这里m是定值，n是变量）切点对双曲线两边求导，得：点代入，得：，化简，得：同理，点代入，得：即所在直线为：令，则即也在直线上，所以三点共线.变1：已知双曲线及定点，过直线上任一点P作双曲线的两条切线，切点为，求证：三点共线.变2：已知及定

5、点，过直线上任一点P作椭圆的两条切线，切点为，求证：三点共线.证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）两边求导，得：设，（这里m是定值，n是变量）代入，得：，即：所以同理，代入，得所以所在直线方程为令，得，即点在直线上.变3：已知抛物线及定点，过直线上任一点P作抛物线的两条切线，切点为，求证：三点共线.证明：对两边求导，设，（这里m是定值，n是变量）代入，得：，即：所以：同理，代入，得所以所在直线方程为，令，得即点在直线上.