高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念练习(含解析)新人教a版选修1-2

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1、数系的扩充和复数的概念1.下列命题中:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若a、b∈R且a>b,则a+i3>b+i2;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④两个虚数不能比较大小.其中,正确命题的序号是(  )A.①  B.②  C.③  D.④[答案] D[分析] 由复数的有关概念逐个判定.[解析] 对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0,且b≠0时为纯虚数.在①中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故①错误;在③中,若x=-1,也不是纯虚数,故③错误;a+i3=a-i,b+i

2、2=b-1,复数a-i与实数b-1不能比较大小,故②错误;④正确.故应选D.2.复数z=(m2+m)+mi(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为(  )A.0或-1B.0C.1D.-1[答案] D[解析] ∵z为纯虚数,∴∴m=-1,故选D.3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为(  )A.1B.1或-4C.-4D.0或-4[答案] C[解析] 由复数相等的充要条件得解得:a=-4.故应选C.4.已知复数z=cosα+icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数,则α的取值

3、集合为(  )A.{π,,}B.{,}C.{π,,}D.{,π,}[答案] D[解析] 由条件知,cosα+cos2α=0,∴2cos2α+cosα-1=0,∴cosα=-1或,∵0<α<2π,∴α=π,或,故选D.5.若复数(a2-a-2)+(

4、a-1

5、-1)i(a∈R)不是纯虚数,则(  )A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠2[答案] C[解析] 若复数(a2-a-2)+(

6、a-1

7、-1)i不是纯虚数,则有a2-a-2≠0或

8、a-1

9、-1=0,解得a≠-1.故应选C.6.复数z=a2-b2+

10、(a+

11、a

12、)i(a、b∈R)为实数的充要条件是(  )A.

13、a

14、=

15、b

16、B.a<0且a=-bC.a>0且a≠bD.a≤0[答案] D[解析] 复数z为实数的充要条件是a+

17、a

18、=0,故a≤0.7.若复数z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+isinθ(θ∈R),z1=z2,则θ等于(  )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+(k∈Z)C.2kπ±(k∈Z)D.2kπ+(k∈Z)[答案] D[解析] 由复数相等的定义可知,∴cosθ=,sinθ=.∴θ=+2kπ,k∈Z,故选D.8.若(m2-3m-4)+(m2

19、-5m-6)i是纯虚数,则实数m的值为(  )A.-1B.4C.-1或4D.不存在[答案] B[解析] 由条件知,∴∴m=4.9.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于(  )A.3+iB.3-iC.-3-iD.-3+i[答案] B[解析] 由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0,即,解得∴z=3-i,故应选B.10.已知集合A={x

20、

21、x

22、≤2,x∈Z},在集合A中任取一个元素a,则复数z=(a2-1)+(a2-a-2)i为实数的概率为p1,z为

23、虚数的概率为p2,z=0的概率为p3,z为纯虚数的概率为p4,则(  )A.p3

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