高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.2 平面向量基本定理导学案 北师大版必修4

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1、2.3.2　平面向量基本定理问题导学1．用基底表示向量活动与探究1如图所示，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，．迁移与应用设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．用基底表示向量的方法技巧(1)熟练应用平行四边形法则和三角形法则以及线性运算；(2)充分利用相等向量，相反向量和线段的比例关系进行转化；(3)充分利用几何图形的性质，如平行、相似、全等、中位线等；(4)充分利用首尾相接的各向量之和为0；(5)注意a，b不共线，则0＝0·a＋0·b是唯一的；(6)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则

2、反”的原则，采用方程思想来求解．2．平面向量基本定理的应用活动与探究2平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G；BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c．(1)试用a，b，c表示向量，，；(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．迁移与应用如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．(1)用a，b表示，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．利用平面向量基本定理解决几何问题：(1)平面向量的基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底．将相关量表示为向量形式，通过

3、向量运算解答问题．(2)常见类型有证明三点共线，证明直线平行，证明线段相等．当堂检测1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于(　　)．A．3B．－3C．0D．22．已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且＝a，＝b，则＝(　　)．A．b＋aB．b－aC．a＋bD．a－b3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么(　　)．A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α

4、内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对4．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列向量表达式：①＝－a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0．其中正确的序号为________．5．已知O是直线AB外一点，存在实数x，y使得＝x＋y，且x＋y＝1．求证：A，B，C三点共线．　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】a＝λ1e1＋λ2e2　基底预习交流1　提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量

5、的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．预习交流2　提示：可能不同．预习交流3　B课堂合作探究【问题导学】活动与探究1　解：设＝a，＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，＝a，于是有解得即＝(2d－c)，＝(2c－d)．迁移与应用　解：＝－＝－－＝－－(－)＝－＝b－a.同理可得＝a－b，＝－＝－(＋)＝a＋b.活动与探究2　解：(1)如题图，∵＝a，＝(b＋c)，∴＝－＝(b＋c－a)．同理：＝(a＋c－b)，＝

6、(a＋b－c)．(2)设线段EL的中点为P1，则＝(＋)＝(a＋b＋c)．设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．∴＝＝.即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．迁移与应用(1)解：如图所示，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．又，有公共点B，∴B，E，F三点共线．【当堂检测】1．A　2．B　3．A4．①②③④5．证明：由x＋y＝1，＝x＋y，得＝x＋(1－x)，所以－

7、＝x(－)，即＝x.所以A，B，C三点共线．