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《初中的数学,巧添辅助线解证几何的题目》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实用标准文案巧添辅助线解证几何题[引出问题]在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。[例题解析]一、倍角问题CABD例1：如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。求证：∠DBC=∠BAC.分析：∠DBC、∠BAC所在的
2、两个三角形有公共角∠C，可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。证法一：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-∠BAC）=90°-∠BAC。∵BD⊥AC于D∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-∠BAC)=∠BAC即∠DBC=∠BAC分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC=½∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DB
3、C求解。ECABD证法二：如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC∴∠EAG=∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）即∠DBC=∠BAC。证法三：如图3，在AD上取一点E，使DE=CDECABD连接BE∵BD⊥AC∴BD是线段CE的垂直平分线∴BC=BE∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC=∠BAC说明：例1也可以取BC中点为E，连接DE，利用直角三角形斜
4、边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。精彩文档实用标准文案例2、如图4，在△ABC中，∠A=2∠B求证：BC2=AC2+AC•AB分析：由BC2=AC2+AC•AB=AC（AC+AB），启发我们构建两个相似的三角形，且含有边BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知，构建以AB为腰的等腰三角形。ABACBA证明：延长CA到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA∵∠BAC是△ABD的一个外角∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC∴∴BC2
5、=AC•CDAD=AB∴BC2=AC（AC+AB）=AC2+AC•AB一、中点问题EGDFCAB例3．已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点。求证：BD=CE分析：由于BD、CE的形成与D、E两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以关系不明显，由于条件F是DE的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。由已知AB=AC,联系到当过D点或E点作平行线，就可以形成新的图形关系——构成等腰三角形，也就是相当于先
6、把BD或CE移动一下位置，从而使问题得解。证明：证法一：过点D作DG∥AC,交BC于点G（如上图）∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCE∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DGB∴BD=DG∵F是DE的中点∴DF=EF在△DFG和△DEFC中，∴△DFG≌EFC∴DG=CE∴BD=CE精彩文档实用标准文案ABCDHEF证法二：如图，在AC上取一点H,使CH=CE,连接DH∵F是DE的中点∴CF是△EDH的中位线∴DH∥BC∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA∵AB=AC∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH∴AB-
7、AD=AC-AH∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”。也可以过E作EM∥BC,交AB延长线于点G，仿照证法二求解。例4．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，且E是BC的中点ABCEF求证：AD=AB+CD证法一：延长AE交DC延长线于F∵AB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF∵E是BC的中点∴BE=CE在△ABE和△CEF中∴△ABE≌△CEF∴AB=CF∵AE平分∠ABD∴∠BAE=∠DAE∴∠DAE=∠F∴AD=DF∵DF=DC+CFDABCEFCF=AB∴AD=AB+DC证法二：取AD中点F，连
8、接EF∵AB∥CD，E是BC的中点∴EF是梯形ABCD的中位线∴EF∥AB,EF=（AB+CD）∴∠BAE=∠AEF∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠FAE∴∠AEF=∠FAE∴AF=EF∵AF=DF∴EF=AF=FD=AD∴(AB+CD)=AD∴AD=AB+CD
