“二元转一元”经典完美例的题目

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1、第二讲多元函数最值和分式函数最值最值问题是高考中出现最广泛，也是最有难度的一类问题，我们解题的基本思路是将要讨论的某个问题的最值用几个变量先表示出来，然后利用题目所给已知条件，将目标函数转化为单（主）变量函数，从而利用导数，均值不等式，三角换元等工具解决函数最值。函数题目中经常有多变量函数，一般都是转化为单变量，一定注意其主元变化范围，而解析几何中的最值基本都是单变量，主变量范围一般是：直线与圆锥曲线的位置关系中的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；下面的例子精选出来，希望同学们认真练习，熟悉各种情况下最值问

2、题的处理能力。题型一：二元转化为一元的经典考题例1.已知时，不等式恒成立，则的最小值？变形：已知时，不等式恒成立，则的最大值？例2.已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；试卷第11页，共4页（2）若，求的最大值。例3.设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：例4.已知函数（Ⅰ）若函数上为单调增函数，求a的取值范围；试卷第11页，共4页（Ⅱ）设求证：.例5.直线分别与曲线，交于，，则的最小值例6.已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3

3、）若，求证：．试卷第11页，共4页例7.已知函数，对于使得成立，则的最小值为（）试卷第11页，共4页例8.已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．例9.已知函数,曲线在点处的切线方程为．试卷第11页，共4页（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）若,求的最大值．题型二：解析几何中分式函

4、数的最值分式函数求最值的主要过程是：先分离，或者换元后凑配分离，一般遵循“照着简单配复杂的”，即低次换元，高次表示。最后化解为均值不等式模型，或者较为简单的函数形式，然后再去讨论最值，注意化简过程中变量取值范围的变化。例1：试卷第11页，共4页yABF1F2xO例2：设F1、F2是椭圆的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求△ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置．提示：，则，，，令，，当t=3时，有最大值，此时k=0，即AB弦过焦点F1且平行于轴．试卷第11页，共4页例3（2014新课标1

5、卷数学（理））已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆E的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.提示：当，即时，设，则，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足。例4（2013新课标Ⅱ卷（理））平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.试卷第11页，共4页例5：如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于

6、两点,交椭圆于另一点(1)求椭圆的方程;(2)求面积取最大值时直线的方程.（2014浙江（理））xOyBl1l2PDA（第21题图）例6：（2013湖北）已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为．试卷第11页，共4页（I）求椭圆的方程；（II）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求的面积的取值范围．例7：（2015新课标1卷数学（理））设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出

7、点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.试卷第11页，共4页例8一动圆与圆外切，与圆内切．(I)求动圆圆心M的轨迹L的方程．(Ⅱ)设过圆心O1的直线与轨迹L相交于A、B两点，请问（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．试卷第11页，共4页