高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案 新人教a版必修4 (2)

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1、课题2.2.3　向量数乘运算及其几何意义教学目标知识与技能理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．过程与方法理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．情感态度价值观启发引导，讲练结合重点了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义难点了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一　向量数乘运算的物理背景(1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？(2)已知非零向量a，

2、作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？（3)已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘积λa的几何意义吗？探究点二　向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.探究点三　共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a≠0)与b共线，当且仅当存在一个实数λ，使b＝λa.判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解．若有解且与题

3、目条件无矛盾则存在，反之不存在三点共线的判定由共线向量定理可得，A，B，C三点共线⇔存在λ∈R，使＝λ.请你根据该结论证明下列常用推论：向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？例如，已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？教学内容教学环节与活动设计推论1：已知O为平面ABC内任一点，若A、B、C三点共线，则存在α、β∈R，使＝α＋β，其中α＋β＝1.推论2：已知O为平面ABC内任一点，若存在α，β∈R，使＝α＋β，α＋β＝1，则A、B、C三点共线．【典

4、型例题】例1　计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解　(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.跟踪训练1　计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．例2　已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．解　因为＝－＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，＝－＝(a＋3b)－(a＋

5、b)＝2b，故有＝2.因为∥，且有公共点A，所以A、B、C三点共线．跟踪训练2　已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．本题给出了证明三点共线方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线．教学设计教学内容教学环节与活动设计例3　如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、和吗？解　在▱ABCD中，＝

6、＋＝a＋b，＝－＝a－b，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，＝－＝－(a＋b)＝－a－b，＝＝(a－b)＝a－b，＝＝a＋b，＝－＝－＝－a＋b.踪训练3　如图，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：＝.1．化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(2).2．如图，＝，＝.求证：＝.结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．教学小结1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的

7、λ

8、倍．

9、向量表示与向量a同向的单位向量．课后反思