《从一元到多元》word版

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1、从一元到多元刘杰（经济学院国际经济与贸易1111653）摘要：自十七世纪末期微积分创立以来，经牛顿，莱布尼茨，泰勒等大师潜心钻研，在纵横两个方面都获得了巨大的发展。一元纵向方面，从导数深入到了一元微分，洛必达法则，一元泰勒公式等，同时，将不定积分推广到了定积分;多元横向方面，则是从一元发展到多元，进而产生了多元函数求偏导，多元泰勒公式，二重积分乃至多重积分。笔者利用多年数学竞赛功底，对微积分的两个发展方向进行了分析研究，从中领悟出一些独特的数学思想方法，并联系经济学知识加以运用，以与读者共勉。关键词：层层推进；回归本源；化变为恒；化归思想1.纵向分析十八世纪，牛顿曾定义导数为

2、速度，即设路程s为时间t的函数，有s=f(t),那么f’(t)=v,其中t与v一一对应。而现实中，导数远远超出了速度的范畴，《数学分析》一书中ㄸ定义f’()=lim=lim.笔者由此得出导数究其本质，表示的是一个函数的增减速度。此处的“速度”明显有别于牛顿当年的定义，它形容的是变量相对于自变量变化的快慢。正是基于这种思想，继而产生了微分，即dy=f’(x)dx,并由此衍生出更为高深的理论，如洛必达法则，定积分，泰勒公式⋯⋯1.1数学思想之层层推进通常情况下，运用极限的相关知识，我们能求得一般函数的极限，却对七类极限束手

3、无策，分别是，，0∙，，，，，经过简单的分析，这七类极限问题可ln转化为一个类型——，转化方式如下：==×=，0∙=∙=，==lnlnln=,==ln=,==ln,=-==，虽然有两个化∙成了指数形式，但由连续性可得，其本质仍是求的极限。此处充分运用了化归思想，将多个问题变为一个，只要将其解决，其余的均可迎刃而解。ㄸ现假定limㄸ=limㄸ=求lim的极限。显然，此极限为型，只要

4、ㄸf(x),g(x)满足在的空心邻域内可导且ㄸ耀(x)≠便有：fㄸ)=lim（x=,g(=ㄳㄸㄸㄳㄸlim(x)=.由微分相关知识，有原式=lim=lim=⋯=ㄳㄸㄸㄳㄸ耀ㄸㄸ耀ㄸ耀耀lim.只要当lim不为一个常数或，便可以继续将ㄸ看做两个单独耀ㄸㄸ耀ㄸ的函数，对其分别求导，运用洛必达法则，直至得出结果。笔者将这种不断深入的求解思想叫做“层层推进”，每层相互

5、独立，又不断朝结果逼近。对于“层层推进”思想，如果运用得当，可以解决更为高深的问题，例如：已知耀=耀ㄸ㌳耀,求lim耀耀通过分析可得：耀=ㄸ耀㌳由上述分析，当耀=耀=因为<<<<⋯<耀<同时，令耀=耀=耀㌳㌳耀fㄳ耀=㌳耀㌳=㌳耀∴f耀耀耀耀即耀单增。现令lim耀=t耀则lim耀=lim耀=A耀耀t=t㌳tt㌳t=∴A=.又因为⋯∴A=lim=.除耀耀耀耀

6、此之外，“层层推进”的思想也使得洛必达法则运用更加灵活巧妙，从而能破解较高难度的极限问题，例如：耀=耀耀耀并且<耀<证明lim耀耀=耀同样，运用上一题的方法，我们得出lim耀=显然为耀耀ㄸ耀0∙型，于是我们想到洛必达法则:lim耀耀=lim令f(n)=耀=耀原式==耀耀耀ㄸ耀耀耀ㄸ耀ㄳㄸ耀耀耀耀耀耀㌳ㄸ耀ㄳㄸ耀=耀ㄸ耀=lim=lim=lim㌳=lim耀=证毕。耀耀耀耀耀耀耀耀耀

7、耀耀1.2数学思想之回归本源从微分的形式中，我们似乎可以看到泰勒公式的前身；dy=f’(x)dx+σx即f(x+xfx=fㄳxxσㄸx,所以，f(x+x=fxfㄳxxσx泰勒公式其本身的证明也以此为基础。对初等函数p(x)=ㄸ㌳㌳⋯耀耀而言，ㄳ(x)==㌳㌳㌳∙㌳⋯耀耀耀耀㌳⋯耀ㄳㄳㄳㄳㄳㄳ耀ㄸ=耀㌳耀=㌳==⋯